第一章解三角形(时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，a＝2，b＝3，则＝()A.B.C.D．不确定解析：由正弦定理＝，得＝＝，故选B.答案：B2．(2018·安徽六校月考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝1，B＝，cosA＝，则a＝()A.B．C.D.解析：由cosA＝，得sinA＝，由正弦定理得＝，∴a＝.故选A.答案：A3．(2019·云南姚安月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2A＋sin2C－sin2B＝sinAsinC，则角B为()A.B．C.D.解析：由题可得a2＋c2－b2＝ac，∴cosB＝＝＝， B∈(0，π)，∴B＝，故选A.答案：A4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc.若sinB·sinC＝sin2A，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：由b2＋c2＝a2＋bc，得b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝＝， A∈(0，π)，∴A＝.若sinB·sinC＝sin2A，∴bc＝a2，∴b2＋c2－2bc＝0，∴(b－c)2＝0，即b＝c，∴△ABC是一个等边三角形．故选C.答案：C5．黑板上有一道有正解的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，…，解得b＝，根据以上信息，你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件()A．A＝30°，B＝45°B．c＝1，cosC＝C．B＝60°，c＝3D．C＝75°，A＝45°1解析：A中，＝，得b＝2；B中，c2＝a2＋b2－2abcosC，得b2－b＋3＝0，b＝不符合此方程；C中，b2＝a2＋c2－2accosB＝7，b＝；D中，B＝180°－75°－45°＝60°，∴b＝＝＝.故选D.答案：D6．(2018·河北邯郸月考)根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是()A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解解析：A中，sinB＝＝＝1，∴B＝90°，有一解；B中，sinC＝＝，c>b，有两解；C中，sinC＝＝，有一解；D中，sinB＝＝，有一解，故D正确．答案：D7．若△ABC的内角A，B，C满足6sinA＝4sinB＝3sinC，则cosB＝()A.B．C.D.解析：由正弦定理把已知条件转化为6a＝4b＝3c，设6a＝4b＝3c＝12t(t>0)，则a＝2t，b＝3t，c＝4t，cosB＝＝＝，故选D.答案：D8．(2018·河北邯郸月考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的值为()A.B．C.或D.或解析：由(a2＋c2－b2)tanB＝ac，得2accosBtanB＝ac，∴sinB＝， B∈(0，π)，∴B＝或，故选D.答案：D9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asinBcosC＋csinBcosA＝b，且a>b，则B＝()A.B．C.D.解析：利用正弦定理，将已知化为sinAsinBcosC＋sinCsinBcosA＝sinB， sinB≠0，∴sinAcosC＋sinCcosA＝，即sin(A＋C)＝，∴sinB＝， a>b，∴B为锐角，∴B＝，故选A.2答案：A10．(2019·河南鹤壁调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝b(cosA＋cosB)，则△ABC为()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：由c＝b(cosA＋cosB)，得sinC＝sinB(cosA＋cosB)，∴sinAcosB＋cosAsinB＝sinBcosA＋sinBcosB，∴sinAcosB＝sinBcosB，∴(sinA－sinB)·cosB＝0，∴sinA－sinB＝0或cosB＝0，∴A＝B或B＝，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D.答案：D11．甲船在湖中B岛的正南A处，AB＝3km，甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12km/h的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是()A.kmB．kmC.kmD.km解析：如图，由题意知AM＝8×＝2，BN＝12×＝3，MB＝AB－AM＝3－2＝1，所以由余弦定理得MN2＝MB2＋BN2－2MB·BNcos120°＝1＋9－2×1×3×＝13，所以MN＝km.答案：B12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝1，c＝2，∠C＝60°，若D是边BC上一点且∠B＝∠DAC，则AD＝()A.B．C.D.解析：如图，在△ABC中，由正弦定理得＝，即sinB＝＝＝，∴cosB＝.∴sin∠BAC＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝. B＝∠DA...
