2016-2017学年高中数学第1章常用逻辑用语2充分条件与必要条件课后演练提升北师大版选修1-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．对于非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：当a＋b＝0时，a＝－b，∴a∥b；当a∥b时，不一定有a＝－b∴“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件．答案：A2．设条件A：<1，条件B：x>1，则条件A是条件B的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件解析：x>1⇒<1，即B⇒A，但<1⇒x<0或x>1，故A⇒B.答案：B3．已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：当a＞0且b＞0时，一定有a＋b＞0且ab＞0.反之，当a＋b＞0且ab＞0时，一定有a＞0，b＞0.故“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”的充要条件．答案：C4．“2x2－5x－3＜0”的一个必要不充分条件是()A．－＜x＜3B．0＜x＜2C．－1＜x＜2D．－＜x＜4解析：2x2－5x－3＜0⇒－＜x＜3，∵.∴－＜x＜4是2x2－5x－3＜0的必要不充分条件．答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5．如果命题“若A则B”的否命题为真命题，而它的逆否命题为假命题，则A是B的________条件．解析：“若A则B”的否命题为真，则其逆命题为真，故“若B则A”成立，而“若A则B”不成立，故A是B的必要不充分条件．答案：必要不充分6．从“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中，选出恰当的一种填空：(1)“a＝0”是“函数f(x)＝x2＋ax(x∈R)为偶函数”的________________；(2)“sinα＞sinβ”是“α＞β”的____________；(3)“M＞N”是“log2M＞log2N”的______________；(4)“x∈M∩N”是“x∈M∪N”的________________．解析：(1)充要条件当a＝0时，函数f(x)＝x2＋ax(x∈R)即为f(x)＝x2，为偶函数；1若f(x)＝x2＋ax(x∈R)为偶函数，则f(－x)＝(－x)2＋a(－x)＝x2－ax＝f(x)＝x2＋ax，则2ax＝0(x∈R)，解得a＝0，综上知“a＝0”是“函数f(x)＝x2＋ax(x∈R)为偶函数”的充要条件．(2)既不充分也不必要条件由正弦函数的图像可知：sinα＞sinβ⇒α＞β，α＞β⇒sinα＞sinβ.(3)必要而不充分条件由函数y＝log2x的单调性知log2M＞log2N⇒M＞N；但是M＞N⇒log2M＞log2N.(4)充分而不必要条件x∈M∩N⇒x∈M∪N，x∈M∪N⇒x∈M∩N.答案：(1)充要条件(2)既不充分也不必要条件(3)必要而不充分条件(4)充分而不必要条件三、解答题(每小题10分，共20分)7．下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；(2)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝；(3)在△ABC中，p：∠A≠60°，q：sinA≠.解析：(1)因为四边形的对角线互相平分⇒四边形是矩形；四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，所以p是q的必要不充分条件．(2)因为x＝1或x＝2⇒x－1＝，x－1＝⇒x2－2x＋1＝x－1⇒x2－3x＋2＝0⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件．(3)因为在△ABC中，∠A≠60°⇒sinA≠，如当∠A＝120°时，sinA＝；在△ABC中，sinA≠⇒A≠60°，所以p是q的必要不充分条件．8．已知p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1，若p的必要不充分条件是q，求实数a的取值范围．解析：q是p的必要不充分条件，则p⇒q但qp.∵p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1.∴a＋1≥1且a≤，即0≤a≤.∴满足条件的a的取值范围为.☆☆☆9．(10分)已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0，p≠1)，求数列{an}为等比数列的充要条件．解析：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．∵p≠0，p≠1，∴＝＝p，a2＝S2－S1＝p2＋q－p－q＝p2－p，a1＝p＋q，要使数列{an}为等比数列，必须＝＝p，∴p－1＝p＋q，q＝－1，这是数列{an}为等比数列的必要条件．2下面证q＝－1是数列{an}为等比数列的充分条件．当q＝－1时，a1＝p－1也适合an＝pn－1(p－1)，∴an＝pn－1(p－1)(n∈N＋)，则＝p(n∈N＋)，∴数列{an}为等比数列．综上，q＝－1是数列{an}为等比数列的充要条件．3
