第三章圆锥曲线的方程3.2双曲线3.2.1双曲线及其标准方程课后篇巩固提升基础达标练1.曲线上的动点P到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差为6,则曲线方程为()A.y29−x27=1B.y29−x27=1(y<0)C.y29−x27=1或x27−y29=1D.y29−x27=1(y>0)解析 曲线上的动点P到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差为6,∴动点P的轨迹是以F1(0,4),F2(0,-4)为焦点,实轴长为6的双曲线的下支,∴曲线方程为y29−x27=1(y<0),故选B.答案B2.已知双曲线的一个焦点F1(5,0),且过点(3,0),则该双曲线的标准方程为()A.x29−y216=1B.y216−x29=1C.x29−y225=1D.y225−x29=1解析因为双曲线的一个焦点F1(5,0),且过点(3,0),所以c=5,a=3;∴b2=c2-a2=16.∴该双曲线的标准方程是x29−y216=1.故选A.答案A3.已知双曲线x29−y2m2=1(m>0)的左焦点为F1(-5,0),则m=()A.9B.3C.16D.4解析 双曲线x29−y2m2=1(m>0)的左焦点为F1(-5,0),∴25-m2=9. m>0,∴m=4,故选D.答案D4.(多选题)如果方程x2m+2−y2m+1=1表示双曲线,则m的取值可能是()A.-4B.-2C.-1D.73解析要使方程表示双曲线,需(m+2)(m+1)>0,解得m<-2或m>-1.由选项知AD符合.答案AD5.如图,已知双曲线的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),点A,B均在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为双曲线的左焦点,则△ABF1的周长为()A.2a+2mB.4a+2mC.a+mD.2a+4m解析由双曲线的定义,知|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a.又|AF2|+|BF2|=|AB|,所以△ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=4a+2|AB|=4a+2m.答案B6.与圆x2+y2=1及圆x2+y2-8x+12=0都外切的圆P的圆心在()A.一个椭圆上B.一个圆上C.一条抛物线上D.双曲线的一支上解析由x2+y2-8x+12=0,得(x-4)2+y2=4,画出圆x2+y2=1与(x-4)2+y2=4的图象如图,设圆P的半径为r, 圆P与圆O和圆M都外切,∴|PM|=r+2,|PO|=r+1,则|PM|-|PO|=1<4,∴点P在以O,M为焦点的双曲线的左支上.答案D7.经过点P(-3,2√7)和Q(-6√2,-7),且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程为.解析设双曲线方程为Ax2-By2=1(AB>0),则{9A-28B=1,72A-49B=1,解得A=-175,B=-125,故双曲线的标准方程为y225−x275=1.答案y225−x275=18.已知点F1,F2分别是双曲线x29−y216=1的左、右焦点,若点P是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|=32.则△F1PF2的面积为.解析因为点P是双曲线左支上的点,所以|PF2|-|PF1|=6,两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.在△F1PF2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|·|PF2|=100-1002|PF1|·|PF2|=0,所以∠F1PF2=90°,所以S△F1PF2=12|PF1|·|PF2|=12×32=16.答案169.若k是实数,试讨论方程kx2+2y2-8=0表示何种曲线.解当k<0时,曲线方程化为y24−x2-8k=1,表示焦点在y轴的双曲线;当k=0时,曲线方程化为2y2-8=0,表示两条垂直于y轴的直线;当02时,曲线方程化为y24+x28k=1,表示焦点在y轴的椭圆.能力提升练1.(多选题)关于x,y的方程x2m2+2+y23m2-2=1,其中m2≠23,方程对应的曲线可能是()A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆C.焦点在x轴上的双曲线D.焦点在y轴上的双曲线解析若m2+2>3m2-2>0,解得-√2√63,则当x∈(-√2,-√63)∪(√63,√2)时,曲线是焦点在x轴上的椭圆,A正确;若3m2-2>m2+2>0,解得m<-√2或m>√2,此时曲线是焦点在y轴上的椭圆,B正确;若3m2-2<0,解得-√630)过点√15,-√63,点P在双曲线C上,若|PF1|=3,则|PF2|=()A.3B.6C.9D.12解析由左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:x2a2-y2=1(a>0)过点√15,-√63,可得15a2−69=1,解得a=3,b=1,c=√10,a+c>3,点P在双曲线C上,若|PF1|=3,可得P在双曲线的左支上,则|PF2|=2a+|PF1|=6+3=9.故选C.答案C3.已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆解析如图所示,连接ON,由题意可得ON=1,且N为MF1的中点,∴MF2=2. 点F1...
