2.8直线与圆锥曲线的位置关系课后篇巩固提升基础达标练1.若椭圆x236+y29=1的弦被点(4,2)平分,则此弦所在直线的斜率为()A.2B.-2C.13D.-12解析设弦两端点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8,y1+y2=4,又{x1236+y129=1,①x2236+y229=1.②①-②,得(x1+x2)(x1-x2)36+(y1+y2)(y1-y2)9=0,即8(x1-x2)36+4(y1-y2)9=0,所以所求直线的斜率为y1-y2x1-x2=-12.答案D2.已知双曲线中心在原点,且一个焦点为F(√7,0),直线y=x-1与双曲线交于M,N两点,且MN中点的横坐标为-23,则此双曲线的方程为()A.x23−y24=1B.x24−y23=1C.x25−y22=1D.x22−y25=1解析由c=√7,得a2+b2=7. 焦点为F(√7,0),∴可设双曲线方程为x2a2−y27-a2=1,①并设M(x1,y1),N(x2,y2).将y=x-1代入①并整理,得(7-2a2)x2+2a2x-a2(8-a2)=0,∴x1+x2=-2a27-2a2,由已知得-2a27-2a2=-23×2,解得a2=2,故双曲线的方程为x22−y25=1.答案D3.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C交于M,N两点,则⃗FM·⃗FN=()A.5B.6C.7D.8解析易知F(1,0),过点(-2,0)且斜率为23的直线方程为y=23(x+2).联立抛物线方程y2=4x,得{y2=4x,y=23(x+2),解得{x=1,y=2,或{x=4,y=4.不妨设M(1,2),N(4,4),所以⃗FM=(0,2),⃗FN=(3,4),所以⃗FM·⃗FN=8.答案D4.(多选)已知△ABC为等腰直角三角形,其顶点为A,B,C,若圆锥曲线E以A,B焦点,并经过顶点C,该圆锥曲线E的离心率可以是()A.√2+1B.√22C.√2D.√2-1解析①△ABC为等腰直角三角形,如果C=π2,圆锥曲线E为椭圆,e=2c2a=ABCA+CB=√22.②△ABC为等腰直角三角形,如果C=π4,A或B为直角,圆锥曲线E为椭圆,e=ABCA+CB=1√2+1=√2-1.③△ABC为等腰直角三角形,如果C=π4,A或B为直角,圆锥曲线为双曲线,e=AB|CA-CB|=1√2-1=√2+1.答案ABD5.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),则过它的焦点且垂直于x轴的弦长为.解析设一个焦点为F(c,0),其中c2=a2+b2,过F且垂直于x轴的弦为AB,则A(c,y0), A(c,y0)在双曲线上,∴c2a2−y02b2=1.∴y0=±b√c2a2-1=±b2a.∴|AB|=2|y0|=2b2a.答案2b2a6.在直角坐标系中任给一条直线,它与抛物线y2=2x交于A,B两点,则⃗OA·⃗OB的取值范围为.解析设直线方程为x=ty+b,代入抛物线y2=2x,得y2-2ty-2b=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2t,y1y2=-2b,∴⃗OA·⃗OB=x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2=b2-2b=(b-1)2-1,∴⃗OA·⃗OB的取值范围为[-1,+∞).答案[-1,+∞)7.在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,√2)且斜率为k的直线l与椭圆x22+y2=1有两个不同的交点P和Q,求k的取值范围.解由已知条件知直线l的方程为y=kx+√2,代入椭圆方程得x22+(kx+√2)2=1,整理得(12+k2)x2+2√2kx+1=0,直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ=8k2-4(12+k2)=4k2-2>0,解得k<-√22或k>√22,所以k的取值范围为(-∞,-√22)∪(√22,+∞).8.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.解(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).设A(x1,y1),B(x2,y2).由{y=k(x-1),y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0,故x1+x2=2k2+4k2.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=4k2+4k2.由题设知4k2+4k2=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则{y0=-x0+5,(x0+1)2=(y0-x0+1)22+16.解得{x0=3,y0=2或{x0=11,y0=-6.因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.能力提升练1.已知直线y=k(x+2)与双曲线x2m−y28=1,有如下信息:联立方程组{y=k(x+2),x2m-y28=1,消去y后得到方程Ax2+Bx+C=0,分类讨论:(1)当A=0时,该方程恒有一解;(2)当A≠0时,Δ=B2-4AC≥0恒成立.在满足所提供信息的前提下,双曲线离心率的取值范围是()A.(1,√3]B.[√3,+∞)C.(1,2]D.[2,+∞)解析依题意可知直线恒过定点(-2,0),根据(1)和(2)可知直线与双曲线恒有交点,故需要定点(-2,0)在双曲线的左顶点上或左顶点的左边,即-2≤-√m,即00)的焦点为F,直线的斜率为√3且经过点F,直线l与抛物线C交于点A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交...
