第三章圆锥曲线的方程习题课椭圆的综合问题及应用课后篇巩固提升基础达标练1.已知点M(√3,0),直线y=k(x+√3)与椭圆x24+y2=1相交于A,B两点,则△ABM的周长为()A.4B.8C.12D.16解析椭圆x24+y2=1的焦点在x轴上,a2=4,b2=1,c=√a2-b2=√3,所以椭圆的两个焦点为N(-√3,0),M(√3,0).又因为直线y=k(x+√3)必经过定点N(-√3,0),由椭圆的定义知△ABM的周长为|AB|+|AM|+|BM|=(|AN|+|AM|)+(|BN|+|BM|)=2a+2a=4a=8.答案B2.已知椭圆x24+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,当△F1PF2的面积为1时,⃗PF1·⃗PF2等于()A.0B.1C.2D.12解析设P(x0,y0),则依题意有S△F1PF2=12·|F1F2|·|y0|=1,而|F1F2|=2√3,所以y0=±√33.故得x0=±2√63.取P(2√63,√33),可得⃗PF1·⃗PF2=0.答案A3.已知椭圆C:x24+y23=1,直线l:x+my-m=0(m∈R),l与C的公共点个数为()A.0个B.1个C.2个D.无法判断解析因为直线:x+my-m=0恒过(0,1),而将(0,1)代入椭圆方程得13<1,故此点在椭圆内部,所以直线与椭圆相交,故有两个交点.答案C4.(多选题)设A,B是椭圆C:x24+y2k=1长轴的两个端点,若C上存在点P满足∠APB=120°,则k的取值可能是()A.43B.2C.6D.12解析若C上存在点P满足∠APB=120°,则只需当点P在短轴顶点时∠APB≥120°.故分析长半轴与短半轴的关系即可.当焦点在x轴时,若∠APB≥120°,则{2≥√3×√k04⇒k≥12.故k∈(0,43]∪[12,+∞),由选择项可知,AD符合题意.答案AD5.过点M(-2,0)的直线m与椭圆x22+y2=1交于P1,P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线m的斜率为k1,直线OP的斜率为k2,则k1k2的值为()A.2B.-2C.12D.-12解析设直线m与x2+2y2=2的交点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则中点P(x0,y0),且x0=x1+x22,y0=y1+y22,将P1(x1,y1),P2(x2,y2)代入x2+2y2=2,可得x12+2y12=2,x22+2y22=2,以上两式相减,可得x12−x22+2(y12−y22)=0,则由于k1=y1-y2x1-x2,k2=y0x0=y1+y2y1+y2,所以1+2y1-y2x1-x2×y1+y2y1+y2=0,即1+2k1k2=0,所以k1k2=-12.答案D6.若点O和点F分别为椭圆x29+y28=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任一点,则⃗OP·⃗FP的最小值为()A.214B.6C.8D.12解析 点P为椭圆x29+y28=1上的任意一点,设P(x,y)(-3≤x≤3,-2√2≤y≤2√2),依题意得左焦点F(-1,0),∴⃗OP=(x,y),⃗FP=(x+1,y),∴⃗OP·⃗FP=x(x+1)+y2=x2+x+72-8x29=19(x+92)2+234. -3≤x≤3,∴32≤x+92≤152,∴94≤(x+92)2≤2254,∴14≤19(x+92)2≤22536.∴6≤19(x+92)2+234≤12,即6≤⃗OP·⃗FP≤12.答案B7.已知斜率为2的直线l被椭圆x23+y22=1截得的弦长为√307,则直线l的方程为.解析设直线l的方程为y=2x+m,与椭圆交于A,B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由{x23+y22=1,y=2x+m,消去y并整理得14x2+12mx+3(m2-2)=0,所以x1+x2=-67m,x1x2=314(m2-2).由弦长公式得|AB|=√1+k2·√(x1+x2)2-4x1x2=√5·√3649m2-67(m2-2)=√307,解得m=±√13,所以直线l的方程为y=2x±√13.答案y=2x±√138.已知椭圆E的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),点C(1,32)在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程;(2)若点P在椭圆E上,且t=⃗PF1·⃗PF2,求实数t的取值范围.解(1)依题意,设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),由已知c=1,所以a2-b2=1.①因为点C(1,32)在椭圆E上,所以1a2+94b2=1.②由①②得,a2=4,b2=3.故椭圆E的方程为x24+y23=1.(2)设P(x0,y0),由⃗PF1·⃗PF2=t,得(-1-x0,-y0)·(1-x0,-y0)=t,即x02+y02=t+1.③因为点P在椭圆E上,所以x024+y023=1.④由③得y02=t+1-x02,代入④,并整理得x02=4(t-2).⑤由④知,0≤x02≤4,⑥结合⑤⑥,解得2≤t≤3.故实数t的取值范围为[2,3].9.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22,P是C上一点,F1,F2是C的两个焦点,且|PF1|+|PF2|=4.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线y=√2x+n交椭圆C于A,B两点,O为坐标原点,求△OAB面积的最大值.解(1) |PF1|+|PF2|=4,∴2a=4,即a=2. e=ca=√22,∴c=√2,∴b2=a2-c2=2,即椭圆方程为x24+y22=1.(2)设点A的坐标为(x1,y1),点B的坐标为(x2,y2),将y=√2x+n代入椭圆C的方程,整理得5x2+4√2nx+2n2-4=0,Δ=32n2-20(2n2-4)>0,∴n2<10,∴x1+x2=-4√2n5,x1x2=2n2-45,∴|AB|=√1+2·√(x1+x2)2-4x1x2=2√65·√10-n2,点O到直线AB的距离...
