学业分层测评(六)2.3弦切角定理(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1.P在⊙O外，PM切⊙O于C，PAB交⊙O于A、B，则()【导学号：96990026】A.∠MCB＝∠BB.∠PAC＝∠PC.∠PCA＝∠BD.∠PAC＝∠BCA【解析】如图所示，由弦切角定理知∠PCA＝∠B.【答案】C2.如图1264，△ABC内接于⊙O，EC切⊙O于点C.若∠BOC＝76°，则∠BCE等于()图1264A.14°B.38°C.52°D.76°【解析】∵EC为⊙O的切线，∴∠BCE＝∠BAC＝∠BOC＝38°.【答案】B3.如图1265，在圆的内接四边形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切⊙O于C点，那么图中与∠DCF相等的角的个数是()图1265A.4B.5C.6D.7【解析】∠DCF＝∠DAC，∠DCF＝∠BAC，∠DCF＝∠BCE，∠DCF＝∠BDC，∠DCF＝∠DBC.【答案】B4.如图1266所示，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于点B，DC的延长线交AB于点A，∠A＝20°，则∠DBE＝()1图1266A.55°B.65°C.75°D.85°【解析】连结OB，则OB⊥AB，∴∠AOB＝90°－∠A＝70°.∠BOD＝180°－∠AOB＝110°.又OB＝OD，∴∠OBD＝(180°－∠BOD)＝35°，∴∠DBE＝90°－∠OBD＝55°.【答案】A5.在圆O的直径CB的延长线上取一点A，AP与圆O切于点P，且∠APB＝30°，AP＝，则CP＝()A.B.2C.2－1D.2＋1【解析】如图，连接OP，则OP⊥PA，又∠APB＝30°，∴∠POB＝60°，∴在Rt△OPA中，AP＝，易知，PB＝OP＝1，在Rt△PCB中，由PB＝1，∠PBC＝60°，得PC＝.【答案】A二、填空题6.如图1267，已知PA是圆O(O为圆心)的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，AC＝，∠PAB＝30°，则线段PB的长为________.图1267【解析】如图，连接OA，又PA为⊙O切线，∴∠OAP＝90°，∠C＝∠PAB＝30°，∴∠OBA＝∠OAB＝60°，∴∠P＝∠PAB＝30°，∴PB＝AB.又AC＝，BC为⊙O直径，∴∠CAB＝90°，∴AB＝1，∴PB＝1.【答案】17.如图1268，已知：△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上.AD是⊙O的切线，若∠B＝30°，AC＝2，则OD的长为__________.【导学号：96990027】2图1268【解析】连接OA，则∠COA＝2∠CBA＝60°，且由OC＝OA知△COA为正三角形，所以OA＝2.又因为AD是⊙O的切线，即OA⊥AD，所以OD＝2OA＝4.【答案】48.如图1269，AB为⊙O直径，CD切⊙O于D，AB延长线交CD于点C，若∠CAD＝25°，则∠C等于__________.图1269【解析】连接BD，∵AB为直径，∴∠BDA＝90°.又∵CD为⊙O切线，切点为D，由弦切角定理知∠BDC＝∠CAD＝25°.∴∠CDA＝90°＋25°＝115°.在△ACD中，∠C＝180°－∠A－∠CDA＝180°－25°－115°＝40°.【答案】40°三、解答题9.如图1270，一圆过直角三角形ABC的直角顶点C，且与斜边AB相切于D点，AD＝DB，G为\s\up10(︵)中点，F为\s\up10(︵)上任一点，求证：∠CFG＝∠EFD.图1270【证明】连接CD，∵AB切圆于D点.∴∠CDB＝∠DFC.∵G为\s\up10(︵)的中点，∴∠CDB＝∠DFC＝2∠CFG.∵D为直角三角形ACB的斜边中点，3∴CD＝AD，∴∠CDB＝2∠DCE.∵∠DCE＝∠EFD，∴∠CFG＝∠EFD.10.如图1271所示，已知圆上的弧\s\up10(︵)＝\s\up10(︵)，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：图1271(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE×CD.【证明】(1)因为\s\up10(︵)＝\s\up10(︵)，所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故＝，即BC2＝BE×CD.能力提升]1.如图1272，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为()图1272A.2B.3C.2D.4【解析】连接BC，则∠ACB＝90°，又AD⊥EF，∴∠ADC＝90°，即∠ADC＝∠ACB，又∵∠ACD＝∠ABC，∴△ABC∽△ACD，∴AC2＝AD·AB＝12，即AC＝2.【答案】C2.如图1273，AB是⊙O直径，P在AB的延长线上，PD切⊙O于C，连接AC，若AC＝PC，PB＝1，则⊙O的半径为()4图1273A.1B.2C.3D.4【解析】连接BC.∵AC＝PC，∴∠A＝∠P.∵∠BCP＝∠A，∴∠BCP＝∠P.∴BC＝BP＝1.由△BCP∽△CAP得PC2＝PB·PA，即AC2＝PB·PA.而AC2＝AB2－BC2，设⊙O半径r，则4r2－12＝1·(1＋2r)，解得r＝1.【答案】A3.如图1274，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝__________.【导学号：96990028】图1274【解析】如图，连接OC，∵PC切⊙O于C点，∴OC⊥PC.∵PB＝OB＝2，OC＝2.∴PC＝2.∵OC·PC＝OP·CD，∴CD＝＝.【答案】4.如图1275，已知AB为⊙O直径，P为AB延长线上一动点，过点P作⊙O的切线，设切点为C.图1275(1)请你连接AC，作∠APC的平分线，交AC于点D，测量∠CDP的度数；(2)∠CDP的度数是否随点P在AB延长线上的位置的变化而变化？请你猜想并证明.5【解】(1)连接AC，作∠APC的平分线，交AC于点D，测量结果：∠CDP＝45°.(2)猜想∠CDP＝45°不变.连接BC.⇒∠CDP＝45°.6
