全国高中数学联赛模拟题一试一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1．在数列中，，，且，．则＝．2．设a，b，c是正整数，且成等比数列，是一个完全平方数，，则．3．一列数满足对于任意正整数n，都有，则．4．设，变量满足，且的最小值为，则_______．5．正整数，具有如下性质：从集合中任取一个元素m，则m整除n的概率是，则n的最大值是
6．集合{1,2,…,2011}的元素和为奇数的非空子集的个数为
7．一个直径的半圆，过作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点，使，为半圆上一个动点，分别为在上的射影．当三棱锥的体积最大时，_________．8．直线交抛物线于两点，若中点的横坐标为，则
二、解答题（第9题16分，第10、11题各20分，共56分）9
（本小题满分16分）设，证明不等式．10
（本小题满分20分）已知双曲线：（，）的离心率为2，过点（）斜率为1的直线交双曲线于、两点，且，．（1）求双曲线方程；（2）设为双曲线右支上动点，为双曲线的右焦点，在轴负半轴上是否存在定点使得
若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．加试1
（本题满分40分）实数a使得对于任意实数，不等式都成立，求a的最大值．参考答案一试1
0．因为，，，，，，，，，，，，，…．所以，自第8项起，每三个相邻的项周期地取值1，1，0，故=0．2．111．由题意，，，所以，，故，．于是，36－a是平方数，所以，a只可能为11，20，27，32，35，而a是的约数，故．进而，．所以，．3．．当时，有，，两式相减，得，所以故．4．．由及得：，设．若，即，则在处取最小值，因此，．若，即，则在处取最小值，因此，（舍去）．5．81
由题设知，n恰有5个约数
设n的质因数分解是，则n的约数个数为，所以＝5，故n具有的形式，而，故n的最大值为81
6．22010．令f(x)=(1+x)(1+x2)(1+x3)…(1+
