全国高中数学联赛模拟题一试一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1．在数列中，，，且，．则＝．2．设a，b，c是正整数，且成等比数列，是一个完全平方数，，则．3．一列数满足对于任意正整数n，都有，则．4．设，变量满足，且的最小值为，则_______．5．正整数，具有如下性质：从集合中任取一个元素m，则m整除n的概率是，则n的最大值是.6．集合{1,2,…,2011}的元素和为奇数的非空子集的个数为.7．一个直径的半圆，过作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点，使，为半圆上一个动点，分别为在上的射影．当三棱锥的体积最大时，_________．8．直线交抛物线于两点，若中点的横坐标为，则.二、解答题（第9题16分，第10、11题各20分，共56分）9.（本小题满分16分）设，证明不等式．10.（本小题满分20分）已知双曲线：（，）的离心率为2，过点（）斜率为1的直线交双曲线于、两点，且，．（1）求双曲线方程；（2）设为双曲线右支上动点，为双曲线的右焦点，在轴负半轴上是否存在定点使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．加试1.（本题满分40分）实数a使得对于任意实数，不等式都成立，求a的最大值．参考答案一试1.0．因为，，，，，，，，，，，，，…．所以，自第8项起，每三个相邻的项周期地取值1，1，0，故=0．2．111．由题意，，，所以，，故，．于是，36－a是平方数，所以，a只可能为11，20，27，32，35，而a是的约数，故．进而，．所以，．3．．当时，有，，两式相减，得，所以故．4．．由及得：，设．若，即，则在处取最小值，因此，．若，即，则在处取最小值，因此，（舍去）．5．81.由题设知，n恰有5个约数.设n的质因数分解是，则n的约数个数为，所以＝5，故n具有的形式，而，故n的最大值为81.6．22010．令f(x)=(1+x)(1+x2)(1+x3)…(1+x2011),问题中要求的答案为f(x)的展开式中，x的奇次项的系数和．故所求的答案为(f(1)－f(－1))=22010.7．．易知，所以，从而，所以，因此．，由得：，而，为斜边长为的直角三角形，面积最大在时取到，此时，．8．．设，由，即，所以，，因此，即，因直线过和，则，于是，再由，，解得，所以．9.注意到，所以，所以．同理，因为，所以．10.（1）由双曲线离心率为2知，，，双曲线方程化为．又直线方程为．由，得．①设，，则，．因为，所以，．结合，解得，．代入，得，化简得．又且．所以．此时，，代入①，整理得，显然该方程有两个不同的实根．符合要求．故双曲线的方程为．（2）假设点存在，设．由（1）知，双曲线右焦点为．设（）为双曲线右支上一点．当时，，，因为，所以．将代入，并整理得，．于是，解得．当时，，而时，，符合．所以符合要求．满足条件的点存在，其坐标为．1．a的最大值为．因为当时，得．又当时，不等式恒成立．事实上，所以，a的最大值为．
