、什么是黎曼猜想黎曼猜想——最重要的数学猜想早在1737年，大数学家欧拉就发现了质数分布问题与Zeta函数的联系，给出并证明了欧拉乘积公式，使得Zeta函数成为研究质数问题的经典方法。np欧拉乘积公式，其中p为质数，n为自然数黎曼猜想(RiemannHypothesis)由大数学家黎曼在1859年首次提出，讨论黎曼Zeta函数的非平凡解问题。黎曼猜想是众多尚未解决的最重要的数学问题之一，被克雷数学研究所列为待解决的七大千禧问题，悬赏百万美金证明或者证伪。一百年前希尔伯特就曾被问过一个问题“假定你能死而复生，你会做什么？”，他的回答是，“我会问黎曼猜想是否已经解决”。可见黎曼猜想多么吸引人黎曼猜想是关于黎曼Zeta函数的零点分布的猜想。黎曼Zeta函数长这个样子：黎曼Zeta函数有两种零点，一种是位于实数轴线上的零点，被称为平凡零点，另一种是位于其他复平面区域上的零点，被称为非平凡零点，目前数学家已经证明这些非平凡零点全部位于实部区间为0到1的复平面内，而黎曼则大胆猜想，这些非平凡零点全部位于实部为1/2的一条直线上。“所有非平凡零点都位于实部为1/2的直线上”是一个尚未得到严格证明的猜想，但数学家们至今找到的上万亿个非平凡零点的确都位于这条直线上，无一例外。黎曼猜想还跟幂律分布有关。我们都知道幂律分布是指其中x如果只能取123,...,n的整数，c为归一化常数，满足:p(l)+p(2)+...+p(n)=c^i~a=1而这里面的就是Zeta函数，黎曼猜想就是关于这个函数的，但是a可以取复数值。黎曼猜想真的会被证明吗？质数分布没有简单规律，但质数出现的频率跟黎曼Zeta函数紧密相关。有数学家甚至认为黎曼猜想与强条件下的质数定理是等价的。目前已经验证了前1,500,000,000个质数对这个定理都成立，但至今没有完全证明。黎曼猜想得证，对质数研究、数论研究意义重大。黎曼猜想对许多数学领域都意义重大，质数分布只是其中一个。有上千个数学命题都建立在黎曼猜想为真的基础上。多数数学家认为这个猜想是正确的，如果黎曼猜想被证伪，数学体系将失去重要根基。二、黎曼猜想被证明了吗？如果这是真的，Atiyah爵士将不仅获得由克雷数学研究所悬赏的一百万美金奖励，更是他个人的至高荣誉和整个数学界的狂欢。然而，根据我们目前的了解，Atiyah爵士极有可能是在自娱自乐逗大家玩……黎曼函数和黎曼猜想简介大家这几天应该被动恶补了不少黎曼函数和黎曼猜想的介绍了，这里还是不厌其烦地再简单说下。首先有无穷级数Z⑸：™1匚⑸二L奈(问旬>1少€屮｝n=l当s取1时，它就是调和级数1+1/2+1/3+1/4+...,算数意义上不收敛。s=2时，级数收敛于n2/6。等等。当s的取值为复数s=x+iy时,它会把复平面上的点s(x,iy)映射到另一点s'(x',iy')。我们注意到这个级数要求s的实部大于1(x>1),否则这个级数不收敛，也就没有我们熟悉的数值和结果。黎曼函数是Z⑸在整个复平面的解析延拓，将s的定义域扩展到整个复平面。(值得说明的是，解析延拓是一种非常强的约束。如果一个函数存在解析延拓，那么解析延拓的结果是唯一的。在这里z⑸的解析延拓刚好展现出了仿佛对称的样式，而不是先做了一个对称然后把它称为解析延拓)黎曼函数在整个复平面上的图像。图源3blue1brown黎曼在提出黎曼函数时轻松地发现，当s取负偶数整数时，函数值为零，那么s=-2n(n为自然数)就被称为黎曼函数的平凡零点(平凡表示没什么难度的、很容易理解的)。同时，在解析延拓后的方程中带入s=-1，得到1+2+3+4+...=-1/12；带入s=-3，得到1+23+33+43+...=1/120。这样的结果并不是我们熟悉的1+1=2那样的算数和，它只是揭示了等号左边和右边的式子有某种我们还不完全理解联系。另一些零点就没那么普通了(非平凡零点)，它们是复数，而且有耐人寻味的分布规律。黎曼在1859年《论小于给定数值的素数个数》论文中提出了三个命题：命题一，认为非平凡零点都位于Re(p)=0到Re(p)=1的条状区间内命题二，认为几乎所有非平凡零点都位于Re(p)=1/2的直线上，这条线也被称为临界线命题三，黎曼谨慎地猜测有可能所有非平凡零点都位于Re(p)=1/2的直线上Re(p)=1/2经黎曼函数变换后的曲线的一部分。它弯弯曲曲无数次穿过了函数值为0的点——通过图像我们也可...
