高中数学——空间向量与立体几何练习题(附答案)VIP免费

空间向量练习题1.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0），33(,,0),22C13(,,0),22DP（0，0，2）,3(1,,0).2E（Ⅰ）证明因为3(0,,0)2BE，平面PAB的一个法向量是0(0,1,0)n，所以0BEn和共线.从而BE⊥平面PAB.又因为BE平面PBE，故平面PBE⊥平面PAB.(Ⅱ)解易知3(1,0,2),(0,02PBBE�，），13(0,0,2),(,,0)22PAAD�设1111(,,)nxyz是平面PBE的一个法向量，则由110,0nPBnBE��得111122020,3000.2xyzxyz所以11110,2.(2,0,1).yxzn�故可取设2222(,,)nxyz�是平面PAD的一个法向量，则由220,0nPAnAD��得2222220020,1300.22xyzxyz所以2220,3.zxy故可取2(3,1,0).n�于是，1212122315cos,.552nnnnnn���故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是15arccos.52.如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。（Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD；（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的大小；（Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离；（Ⅰ）证明取BC中点O，连结AO．ABC△为正三角形，AOBC⊥．在正三棱柱111ABCABC中，平面ABC⊥平面11BCCB，AD⊥平面11BCCB．取11BC中点1O，以O为原点，OB�，1OO�，OA�的方向为xyz，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(100)B，，，(110)D，，，1(023)A，，，(003)A，，，1(120)B，，，1(123)AB�，，，(210)BD�，，，1(123)BA�，，．12200ABBD�，111430ABBA�，1ABBD�⊥，11ABBA�⊥．1AB⊥平面1ABD．（Ⅱ）解设平面1AAD的法向量为()xyz，，n．(113)AD�，，，1(020)AA�，，．AD�⊥n，1AA�⊥n，100ADAA��，，nn3020xyzy，，03yxz，．令1z得(301)，，n为平面1AAD的一个法向量．由（Ⅰ）知1AB⊥平面1ABD，1AB�为平面1ABD的法向量．cosn，1113364222ABABAB���nn．xzABCD1A1C1BOFy二面角1AADB的大小为6arccos4．（Ⅲ）解由（Ⅱ），1AB�为平面1ABD法向量，1(200)(123)BCAB�，，，，，．点C到平面1ABD的距离1122222BCABdAB��．3.如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，2,2.CACBCDBDABAD（1）求证：AO平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；（3）求点E到平面ACD的距离．⑴证明连结OC,,.BODOABADAOBD,BODOBCCD，COBD．在AOC中，由已知可得1,3.AOCO而2AC，222,AOCOAC90,oAOC即.AOOC,BDOCO∴AO平面BCD．(2)解以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(1,0,0),BD13(0,3,0),(0,0,1),(,,0),(1,0,1),(1,3,0).22CAEBACD�2cos,4BACDBACDBACD���，∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为24．ACDOBEyzxACDOBEyzx⑶解设平面ACD的法向量为(,,),nxyz则(,,)(1,0,1)0(,,)(0,3,1)0nADxyznACxyz����，∴030xzyz，令1,y得(3,1,3)n是平面ACD的一个法向量．又13(,,0),22EC�∴点E到平面ACD的距离32177ECnhn�．4.已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.（Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,12），N（12,0,0），S（1,12,0）.……4分（Ⅰ）111(1,1,),(,,0)222CMSN�,因为110022CMSN�，所以CM⊥SN……6分（Ⅱ）1(,1,0)2NC�,设a=（x，y，z）为平...