高中数学选修4-4：第一讲1：平面直角坐标系VIP免费

第一讲坐标系网络构建学案1．如何根据几何图形的几何特征建立恰当的坐标系？2．如何确定坐标平面内点的坐标？3．如何理解点的坐标的伸缩变换？学案【提示】①如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；③若题目有已知长度的线段，以线段所在的直线为x轴，以端点或中点为原点．建系原则：使几何图形上的特殊点尽可能多的落在坐标轴上．学案【提示】如图，过点P分别作x轴、y轴的垂线段PM、PN，垂足分别为M、N，则M的横坐标x与N的纵坐标y对应的有序实数对(x，y)即为点P的坐标．学案【提示】在平面直角坐标系中，变换φ将点P(x，y)变换到P′(x′，y′)．当λ>1时，是横向拉伸变换，当0<λ<1时，是横向压缩变换；当μ>1时，是纵向拉伸变换，当0<μ<1时，是纵向压缩变换.基础梳理1．平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与、曲线与建立联系，从而实现的结合．(2)坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的元素，将几何问题转化为问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成结论．坐标方程数与形几何代数几何基础梳理2．平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归纳为伸缩变换，这就是用研究变换．坐标代数方法几何(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：x′＝λxλ＞0y′＝μyμ＞0的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．φ巩固提高[例1](2012·湖北高考改编)设A是单位圆x2＋y2＝1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|＝m|DA|(m>0，且m≠1)．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标．巩固提高[解]如图，设M(x，y)，A(x0，y0)，则由|DM|＝m|DA|(m>0，且m≠1)，可得x＝x0，|y|＝m|y0|，所以x0＝x，|y0|＝1m|y|.①因为A点在单位圆上运动，所以x20＋y20＝1.②将①式代入②式即得所求曲线C的方程为x2＋y2m2＝1(m>0，且m≠1)．巩固提高因为m∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以当01时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0，－m2－1)，(0，m2－1)．巩固提高[例2]已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别为两腰上的高．求证：BD＝CE.[思路点拨]由于△ABC为等腰三角形，故可以BC为x轴，以BC中点为坐标原点建立直角坐标系，在坐标系中解决问题．[证明]如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．设B(－a,0)，C(a,0)，A(0，h)．则直线AC的方程为巩固提高y＝－hax＋h，即：hx＋ay－ah＝0.直线AB的方程为y＝hax＋h，即：hx－ay＋ah＝0.由点到直线的距离公式：得|BD|＝|2ah|a2＋h2，|CE|＝|2ah|a2＋h2.∴|BD|＝|CE|，即BD＝CE.巩固提高[例3]求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x2＋y2＝1变成曲线x′29＋y′24＝1.巩固提高[解]设变换为x′＝λx，λ>0y′＝μy，μ>0，代入方程x′29＋y′24＝1，得λ2x29＋μ2y24＝1.与x2＋y2＝1比较，将其变形为λ29x2＋μ24y2＝1，比较系数得λ＝3，μ＝2.∴x′＝3xy′＝2y，即将圆x2＋y2＝1上所有点横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，可得椭圆x′29＋y′24＝1.课堂练习1．二次方程x2－ax＋b＝0的两根为sinθ，cosθ，求点P(a，b)的轨迹方程(其中|θ|≤π4)．解：由已知可得a＝sinθ＋cosθ①b＝sinθcosθ②①2－2②；得a2＝2b＋1. |θ|≤π4，由sinθ＋cosθ＝2sin(θ＋π4)，知0≤a≤2.由sinθ·cosθ＝12sin2θ，知|b|≤12.∴P(a，b)的轨迹方程是a2＝2b＋1(0≤a≤2)．课堂练习2．△ABC中，若BC的长度为4，中线AD的长为3，求A点的轨迹方程．解：取B、C所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则D(0,0)，B(－2,0)，C(2,0)．设A(x，y)为所求轨迹上任意一点，则|AD|＝x...