高中数学 2.3.2双曲线的几何性质课时训练 苏教版选修1-1VIP免费

2.3.2双曲线的几何性质一、填空题1．已知椭圆＋＝1和双曲线－＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是________．2．双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线方程为________．3．关于双曲线－＝1与－＝k(k>0且k≠1)有下列结论：①有相同的顶点；②有相同的焦点；③有相同的离心率；④有相同的渐近线．其中正确结论的序号是________．4．设P是双曲线－＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程是3x－2y＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点．若PF1＝3，则PF2的值为________．5．双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为________．6．过点P(－1，－)的直线l与双曲线－＝1有且仅有一个公共点，且这个公共点恰是双曲线的左顶点，则双曲线的实半轴长等于________．7．以双曲线－＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是________．8．F1、F2是双曲线－＝1的左、右焦点，P是双曲线左支上的点，已知PF1、PF2、F1F2依次成等差数列，且公差大于0，则∠F1PF2＝________.9.如图，F1和F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．二、解答题10．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，且过点(4，－)．(1)求双曲线的标准方程；(2)直线x＝3与双曲线交于M、N两点，求证：F1M⊥F2M.11．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且PF1＝4PF2，试求该双曲线离心率的取值范围．112．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．(1)求双曲线C的标准方程；(2)若直线y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．答案1解析：由双曲线方程，判断出公共焦点在x轴上，所以椭圆的一个焦点为(，0)，双曲线的一个焦点为(，0)所以m2＝8n2.又因为双曲线渐近线方程为y＝±·x，①把m2＝8n2，即|m|＝2|n|代入①，得y＝±x.答案：y＝±x2答案：y2－x2＝243解析：双曲线－＝1与－＝k(k>0且k≠1)显然有共同的渐近线±＝0.双曲线－＝1的实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3，所以半焦距c＝5，双曲线－＝k可化为－＝1，故实半轴长a′＝4≠4，虚半轴长b′＝3≠3，所以半焦距c′＝5≠5.故两个双曲线的焦点、顶点都不相同，∴①、②都错．而前者的离心率e＝＝，后者的离心率e′＝＝＝＝e，所以离心率相同，所以③④正确．答案：③④4解析： 双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，∴＝. b＝3，∴a＝2.又|PF1－PF2|＝2a＝4，∴|3－PF2|＝4.∴PF2＝7或PF2＝－1(舍去)．答案：75解析：如图，由题知∠MF1F2＝30°，MF2⊥x轴，∴MF1＝2MF2. MF1－MF2＝2a，∴MF2＝2a，又 F1F2＝2c.∴cot30°＝＝＝＝，∴e＝.答案：6解析：依题意知，过点P的直线l与双曲线相切或与双曲线的渐近线y＝－x平行，所以a＝1或＝－，解得a＝1或a＝2.即实半轴长等于1或2.答案：1或27解析：由双曲线方程－＝1，知其右焦点的坐标为(5,0)，渐近线方程为4x±3y＝0，所以所求圆的半径为＝4，故所求圆的方程为(x－5)2＋y2＝42.答案：(x－5)2＋y2＝168解析：由双曲线定义可知PF2－PF1＝4，又2PF2＝PF1＋F1F2＝PF1＋14，∴PF2＝10，PF1＝6.在△PF1F2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝－，∴∠F1PF2＝120°.答案：120°9解析：连结OA(图略)， △F2AB是等边三角形，由双曲线及圆的对称性可知∠AOF1＝60°，又OA＝OF1，∴A点坐标为(－，c)，将A点坐标代入双曲线方程，得－＝1①，又b2＝c2－a2②，由①②可得e＝1＋.答案：1＋10解：(1) 由双曲线的离心率为，∴＝，∴＝2，∴a＝b，即双曲线为等轴双曲线．2可设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．由于双曲线过点(4，－)，∴42－(－)2＝λ，∴λ＝6.∴所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)证明：由(1)可得F1、F2的坐标分别为(－2，0)、(2，0)，M、N的坐标分别为(3，)、(3，－)，∴kF1M＝，kF2M＝.故kF1M·kF2M＝·＝－1，∴F1M⊥F2M.11解： PF1＝4PF2，点P在双曲线的右支上，...