第二讲第一节参数方程的概念一、选择题(每小题5分，共20分)1．参数方程(t为参数)的曲线与坐标轴的交点坐标为()A．(1,0)，(0，－2)B．(0,1)，(－1,0)C．(0，－1)，(1,0)D．(0,3)，(－3,0)解析：当x＝t－1＝0时，t＝1，y＝t＋2＝3；当y＝t＋2＝0时，t＝－2，x＝t－1＝－3.曲线与坐标轴的交点坐标为(0,3)，(－3,0)．答案：D2．若t>0，下列参数方程的曲线不过第二象限的是()A．B．C．D．解析：由，t>0，得方程表示射线，且只在第一象限内，其余方程的曲线都过第二象限．答案：B3．已知O为原点，当θ＝－时，参数方程(θ为参数)上的点为A，则直线OA的倾斜角为()A．B．C．D．解析：当θ＝－时，参数方程(θ为参数)上的点A，∴kOA＝tanα＝＝－，0≤α<π，∴直线OA的倾斜角α＝.答案：C4．由方程x2＋y2－4tx－2ty＋5t2－4＝0(t为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是()A．一个定点B．一个椭圆C．一条抛物线D．一条直线解析：上述方程可变形为(x－2t)2＋(y－t)2＝4，∴这组圆的圆心坐标为(2t，t)．令⇒x－2y＝0.答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5．曲线C的参数方程，已知点M(2，a)在曲线C上，则a＝__________________。解析：将点(2，a)代入方程得：解得：∴a＝2.答案：26．动点M作等速直线运动，它在x轴和y轴方向的分速度分别为9和12，运动开始时，点M位于A(1,1)，则点M的参数方程是__________________.答案：(t为参数)三、解答题(每小题10分，共20分)17．已知线段AB的位置和长度都一定，点P在其上运动．在AB的同侧分别以AP、PB为边作正三角形APM与BPN，求线段MN的中点Q轨迹的参数方程．解析：如图建立直角坐标系，设|AB|＝a，取AP＝t(0＜t＜a)为参数，则B(a,0)，P(t,0)，M，N.设MN的中点Q(x，y)，根据中点公式得点Q的轨迹方程为(0＜t＜a，t为参数)．8．已知曲线C的参数方程为(t为参数)(1)判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C的位置关系；(2)已知点M3(9，a)在曲线上，求a的值．解析：(1)把M1的坐标(0,1)代入方程，得无解．∴点M1不在曲线C上；把M2的坐标(5,4)代入方程组得得t＝2.∴点M2在曲线C上．(2)∵点M3(9，a)在曲线C上，∴解得：t＝4，a＝16.∴a＝16☆☆☆9．(10分)(1)设炮弹的发射角为α.发射的初速度为v0，求弹道曲线的参数方程；(不计空气阻力、风向等因素)(2)如果上题中v0＝100m/s，α＝，当炮弹发出2秒时．①求炮弹的高度；②求出炮弹的射程．解析：(1)取炮口为原点，水平方向为x轴，建立坐标系如右图所示，设炮弹发射后的位置在点M(x，y)，又设炮弹发射后的时间t为参数．由匀速直线运动和竖直上抛运动的位移公式，得x＝OQ＝|OP|cosα＝v0tcosα.y＝QM＝QP－MP＝v0tsinα－gt2.即得弹道曲线的参数方程：(2)①将v0＝100米/秒，α＝，t＝2秒代入，得y＝100×sin×2－×9.8×4＝80.4(米)．2②令y＝0，v0＝100米/秒，α＝代入，得100·sin·t－×9.8×t2＝0，t(50－4.9t)＝0，t1＝0，t2＝10.2(秒)将t＝10.2(秒)代入，得x＝100×cos×10.2＝510(千米)．3
