课时分层作业(十八)极大值与极小值(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、填空题1．函数y＝2－x2－x3的极大值为________；极小值为________．【解析】 y′＝－2x－3x2＝－x(3x＋2)，由y′＝0得x＝0或x＝－.函数在，(0，＋∞)上都递减，在上递增，所以函数的极大值为f(0)＝2，极小值为f＝.【答案】22．函数f(x)＝＋lnx(x＞0)的极小值为________.【导学号：95902230】【解析】 f(x)＝＋lnx(x＞0)，∴f′(x)＝－＋.由f′(x)＝0解得x＝2.当x∈(0,2)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数．∴x＝2为f(x)的极小值点，所以函数f(x)＝＋lnx的极小值为f(2)＝1＋ln2.【答案】1＋ln23．若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________.【解析】f′(x)＝(x≠－1)，又y＝f(x)在x＝1处取得极值，则f′(1)＝0，解得a＝3.【答案】34．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图337所示，则x＋x等于______.【导学号：95902231】图337【解析】由图象可知f(x)的图象过点(1,0)与(2,0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，因此1＋b＋c＝0,8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，所以f(x)＝x3－3x2＋2x，所以f′(x)＝3x2－6x＋2.x1，x2是方程f′(x)＝3x2－6x＋2＝0的两根，因此x1＋x2＝2，x1x2＝，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝.【答案】5．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)的极大值为______．【解析】y′＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，令y′＝0，得x＝－1或x＝3.当－2＜x＜－1时，y′＞0；当－1＜x＜2时，y′＜0.所以当x＝－1时，函数有极大值，且极大值为5，无极小值．【答案】56．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数图象如图338所示，则函数f(x)的极小值是________．图338【解析】由函数导函数的图象可知，函数f(x)在(－∞，0)上递减，在(0,2)上递增，所以函数f(x)在x＝0时取得极小值c.1【答案】c7．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________.【导学号：95902232】【解析】令f(x)＝0得a＝3x－x3，于是y＝a和y＝3x－x3有3个不同交点，画出y＝3x－x3的图象即可解决．结合图象，可知－2＜a＜2.【答案】－2＜a＜28．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图339所示，给出下列判断：图339①函数y＝f(x)在区间内单调递增；②函数y＝f(x)在区间内单调递减；③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．则上述判断中正确的是________(填序号)．【解析】从题图知，当x∈(－3，－2)时，f′(x)＜0，当x∈时，f′(x)＞0，所以函数y＝f(x)在内不单调，同理，函数y＝f(x)在内也不单调，故①②均不正确；当x∈(4,5)时，f′(x)＞0，所以函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增，故③正确；由于f′(2)＝0，且在x＝2的左、右两侧的附近分别有f′(x)＞0与f′(x)＜0，所以当x＝2时函数y＝f(x)取得极大值，而在x＝－的左、右两侧的附近均有f′(x)＞0，所以x＝－不是函数y＝f(x)的极值点，即④⑤均不正确．故填③.【答案】③二、解答题9．求函数f(x)＝－2的极值.【导学号：95902233】【解】函数的定义域为R.f′(x)＝＝－，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘极小值↗极大值↘由表可知，当x＝－1时，函数取得极小值f(－1)＝－3.当x＝1时，函数取得极大值f(1)＝－1.10．设f(x)＝alnx＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值．【解】(1)因为f(x)＝alnx＋＋x＋1，2故f′(x)＝－＋.由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′(1)＝0，从而a－＋＝0，解得a＝－1.(2)由(1)知f(x)＝－lnx＋＋x＋1(x＞0)，f′(x)＝－－＋＝＝.令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－(因x2＝－不在定义域内，舍去)．当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，故f(x)在(0,1)上为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3.[能力提升练]1．若函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．【...
