高中数学 4.4 参数方程 4.4.4 参数方程中曲线欣赏——平摆线、圆的渐开线同步测控 苏教版选修4-4-苏教版高二选修4-4数学试题VIP免费

4.4.4参数方程中曲线欣赏——平摆线、圆的渐开线同步测控我夯基,我达标1.关于渐开线和摆线的叙述，正确的是（）A.只有圆才有渐开线B.渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C.正方形也可以有渐开线D.对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同解析：本题主要考查渐开线和摆线的基本概念．不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．答案：C2.给出下列说法:①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是惟一的交点．其中正确的说法有（）A.①③B.②④C.②③D.①③④解析：本题主要考查渐开线和摆线的有关概念和参数方程的问题．对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．答案：C3.已知圆的渐开线的参数方程是cossin,sincosyx（θ为参数），则此渐开线对应的基圆的直径是___________，当参数θ＝4时，对应的曲线上的点的坐标为_____________.解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2．求当θ=4时对应的坐标只需把θ=4代入曲线的参数方程，得x＝22＋82，y＝22－82，由此可得对应的坐标为（22＋82，22－82）.答案：2（22＋82，22－82）4.已知一个圆的摆线方程是cos44,sin44yx（θ为参数），求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程.1思路分析：首先根据所给出的摆线方程判断出圆的半径为4，易得圆的面积,再代入渐开线的参数方程的标准形式即可得圆的渐开线的参数方程.解：首先根据渐开线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线的参数方程是cos4sin4,sin4cos4yx（θ为参数）.5.已知圆C的参数方程是sin62,cos61yx（α为参数，α∈［0,2π)）和直线l对应的普通方程是x-y-26=0.(1)如果把圆心平移到原点O，请问平移后圆和直线是什么关系？(2)写出平移后圆的摆线方程.(3)求摆线和x轴的交点.思路分析：首先根据条件，可知圆的半径是6，平移后的圆心为O（0，0），根据圆心O到直线的距离可以判断出直线和圆的位置关系．再由圆的半径写出圆的摆线方程．求摆线和x轴的交点只需令y＝0，求出对应的参数θ，再代入求出x值.解：(1)圆C平移后圆心为O（0，0），它到直线x-y-62=0的距离为d=226＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线方程是cos66,sin66yx（θ为参数）．(3)令y＝0,得6-6cosθ＝0cosθ=1，所以θ＝2kπ(k∈Z).代入x=6θ-6sinθ,得x=12kπ（k∈Z），即圆的摆线和x轴的交点为（12kπ，0）（k∈Z）.我综合,我发展6.已知一个圆的参数方程为sin3,cos3yx（θ为参数,θ∈［0,2π)），那么圆的摆线方程中与参数θ＝2对应的点A与点B(23，2)之间的距离为（）A.2-1B.2C.10D.123解析：根据圆的参数方程，可知圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为)cos1(3),sin(3yx（θ为参数），把θ＝2代入参数方程中可得,3),12(3yx即A(3(2-1)，3)，∴|AB|＝10)23(]23)12(3[22.2答案：C7.如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE、EF、FG、GH、…的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连接，则曲...