数学解题之一题多解与多题一解Themanuscriptwasrevisedontheeveningof浅谈一题多解培养学生发散思维摘要本文旨在明确一题多解中学生思维能力的发展，从而使教师在数学解题教学过程中更加重视解题办法对学生思维和发散思维的培养。本文通过两道典型例题对一题多解型的解说，通过不同的例题能够达成对学生思维能力的训练培养的目的。通过一题多解，能够开阔学生思路、发散学生思维，让学生学会多角度分析和解决问题；对一题多解灵活运用，对培养学生发散思维，启发学生独立思考含有较好的指导意义。核心词：一题多解发散思维思维能力一题多解对学生思维能力的培养同一数学问题用不同的数学办法能够达成异曲同工之效，我们称“”之为一题多解。其特点就是对同一种问题从不同的角度、不同的构造形式、不同的思维方式去解答同一种问题。一题多解能快速整合所学知识，重要的是培养学生细致的观察力、丰富的联想力和独立思考、解决问题的能力。（一）提高分析、解决问题的能力一题多解，能够使学生开阔思维，把学过的知识和办法融合在一起，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生独立思考的能力。例1.甲乙两地相距450千米。客车和货车同时从两地相向而行，客车行完全程需10小时，货车行完全程需15小时，相遇时两车各行多少千米？解法一：用路程问题的解法。根据速度=路程÷时间能够求出客车的速度为450÷10=45（千米/小时），货车的速度为450÷15=30（千米/小时）。（1）几小时后两车相遇：450÷（45+30）=6（小时）（2）相遇时客车行了多少千米：45×6=270(千米)（3）相遇时货车行了多少千米：30×6=180(千米）解法二：用比例分派的办法。两车所需的时间之比是：10:15，根据距离一定，速度与时间成反比例关系进行解答。（1）两车所需的时间之比是：10:15=2:3因此两车速度之比是：3:2（2）两车运行时间相似，因此路程与速度成正比例，即两车行驶路程之比是：3:2（3）相遇时客车行了多少千米：450×（)=270(千米）（4）相遇时货车行了多少千米：450×（)=180(千米）答：相遇时客车行了270千米，货车行了180千米。解法三：工程问题的办法解决客车行完全程要10小时，每小时行全程的1/10货车行完全程需15小时，每小时行全程的1/15相遇时间为：1÷（1/10＋1/15）＝6（小时）6小时客车行了全程的：6×1/10＝3/5因此客车行了：450×3/5＝270（千米）因此货车行了：450－270＝180（千米）...解法一：求出两车相遇时间，进而求出相遇时两车各自的行驶路程，这种办法是解决类似行问题最为普通的办法，也是最为普遍的解决办法，是解决更为复杂的工程问题的基础。而解法二是通过对公式路程=速度×时间的灵活运用，只需求出两车的速度之比，进而运用比例对两车各自的行程进行分派，能够说是对公式的升华。解法三用工程问题来解决，直接把路程看做1，通过效率来解决问题。（二）提高多角度分析能力一题多解能够培养学生灵活、敏捷的思维能力，让学生学会对问题进行多角度、多层次的分析，达成对问题的全方面理解，进而快速精确的解决问题。例2.6人站成一排，若甲不能站排头，乙不能站排尾，则不同的站法有多少种？解法二：甲在尾A55=120甲不在未(自然也不在头)C41C41A44=4¿4¿24=384共：A55+C41C41A44=120+384=504解法二：分析：设6人为ABCDEF甲不在A处，如甲占F位，则乙可在ABCDE，5处任占一位，其它4人可在余下的4处各占一位，即：5¿4¿3¿2¿1=120；如甲在BCDE，4处任占一位，则乙只能在BCDE除去一位或A共4处任占一位，其它4人可在余下的4处各占一位，即：4¿4¿4¿3¿2¿1=384；因此一共有120+384=504（种）站法。5¿4¿3¿2¿1+4¿4¿4¿3¿2¿1=504答：共有504种站法。解法三：（1）甲站排尾,乙有5种站法（2）甲站中间的4个空有4种站法,乙除了甲站的空和排尾尚有的空尚有4种站法,共4¿4=16种（3）甲乙共有5+16=21种站法（4）剩余4人共有4¿3¿2¿1=24种站法（5）因此共有21¿24=504种站法解法四：全部可能的排法有:A66=6!=720再考虑特殊状况.甲在排头,乙在排尾的可能减去即可.(1)甲在排头,乙不在排尾有4¿A44=4¿4!=96(2)甲不在排头,乙在排尾有4¿A44=4¿4!=96(3)甲在排头,乙在排尾有A44=4...
