4.2直线、圆的位置关系4.2.1直线与圆的位置关系直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系的判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个位置关系相交相切相离方法几何法:设圆心到直线的距离d=dr代数法:由消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ>0Δ=0Δ<022AaBbCAB222AxByC0xaybr【思考】利用几何法、代数法都可以判断直线与圆的位置关系,哪种方法简单?提示:一般几何法较为简单.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)过不在圆内的一点一定能作圆的两条切线.()(2)过圆内一点作一条直线,则该直线一定与圆相交.()(3)如果一条直线与圆相交,所得的弦长是圆的弦中最长的,那么这条直线一定过圆心.()提示:(1)×.当点在圆上时,只能作圆的一条切线.(2)√.过圆内的一点作直线,一定与圆有两个交点,因此一定相交.(3)√.直径是圆的最长弦,因此直线一定过圆心.2.直线y=2x-6+2与圆x2+y2-4x+4y=0的位置关系为()A.相离B.相切C.相交且经过圆心D.相交但不经过圆心10【解析】选B.化圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=8,可得圆心坐标为(2,-2),半径为r=2.因为圆心到直线y=2x-6+2的距离所以直线y=2x-6+2与圆x2+y2-4x+4y=0的位置关系为相切.2102226210d22r5｜｜＝＝．103.直线x-y=0与圆(x-2)2+y2=4交于点A,B,则|AB|=________.【解析】圆心到直线的距离d==,半径r=2,所以|AB|=答案:|20|2－2222rd22.－＝22类型一直线与圆的位置关系的判断【典例】1.已知a,b∈R,a2+b2≠0,则直线l:ax+by=0与圆C:x2+y2+ax+by=0的位置关系是()A.相交B.相离C.相切D.不能确定2.(2019·青岛高一检测)过点(0,4)的直线l与x2+y2=4相交,则直线l的倾斜角α的范围是__________.【思维·引】1.表示出圆的半径、圆心到直线的距离然后作出判断.2.首先验证斜率不存在时是否符合题意,然后设出直线方程,利用直线与圆相切的条件求斜率及倾斜角的范围.【解析】1.选C.圆C的圆心C,半径r==,因为圆心C到直线l的距离d=所以直线l与圆C的位置关系是相切.ab(,)2222ab422ab222ab|a()b()|22ab＝22abr2＝，2.当直线l的倾斜角为90°时,显然满足题意;当直线l的倾斜角不等于90°时,存在斜率,设为k,则直线l:y=kx+4,即kx-y+4=0,依题意圆心(0,0)到直线l的距离小于半径2,所以<2,解得:k>或k<-,所以倾斜角所以倾斜角60°<α<90°或90°<α<120°，综上所述:倾斜角α的取值范围是60°<α<120°.24k133答案：60°<α<120°【内化·悟】判断直线与圆的位置关系需要明确哪些要素?提示:必须要明确圆心、半径、圆心到直线的距离.【类题·通】直线与圆的位置关系的判定有两种方法(1)代数法:通过直线方程与圆的方程所组成的方程组,根据解的个数来研究,若有两组不同的实数解,即Δ>0,则相交;若有两组相同的实数解,即Δ=0,则相切;若无实数解,即Δ<0,则相离.(2)几何法:由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断:当dr时,直线与圆相离.【习练·破】(2019·安庆高一检测)对于a∈R,直线l:(a-1)x-y+a+1=0和圆C:x2+y2-4x-12=0,则直线l与圆C的位置关系为()A.相交B.相切C.相离D.以上三种位置均有可能【解析】选A.直线l:(a-1)x-y+a+1=0恒过(-1,2),圆C:x2+y2-4x-12=0化为(x-2)2+y2=16,则圆的圆心为(2,0),半径为4.因为(-1,2)与(2,0)的距离为<4,所以直线恒过的定点在圆内,所以直线与圆相交.13【加练·固】对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是()A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心【解析】选C.易知直线过定点(0,1),且点(0,1)在圆内,但是直线不过圆心(0,0).类型二直线与圆的相切问题【典例】1.(2019·重庆高一检测)若点P(2,1)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为()A.2x+y-5=0B.x-2y=0C.2x+y+3=0D.x=22.以P(1,2)为圆心,且与直线3x-4y-5=0相切的圆的方程为()A.(x-1)2+(y-2)2=2B.(x-1)2+(y-2)2=4C.(x+1)2+(y+2)2=2D.(x+1)2+(y+2)2=43.(2019·常熟高一检测)若直线ax+by+7=0与圆x2+y2+4x-1=0切于点P(-3,2),则ab的值为________.【思维·引】1.利用切线与过切点的半径垂直求出斜率后写方程.2.利用直线与圆相切求出圆...
