高中数学 第三章 推理与证明 类比推理典例导航课件 北师大版选修1-2 课件VIP专享VIP免费

已知在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，有1AD2＝1AB2＋1AC2成立．那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，试说明理由．[解题过程]猜想：类比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD.则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.如右图，连接BE，并延长交CD与F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.而AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF.∴1AE2＝1AB2＋1AF2∵在Rt△ACD中，AF⊥CD.∴1AF2＝1AC2＋1AD2.∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2，故猜想正确．1.在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1，试在立体几何中，给出四面体性质的猜想．解析：如下图，在Rt△ABC中，cos2A＋cos2B＝bc2＋ac2＝a2＋b2c2＝1.于是把结论类比到四面体P－A′B′C′中，我们猜想：三棱锥P－A′B′C′中，若三个侧面PA′B′、PB′C′、PC′A′两两互相垂直且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.一个等差数列{an}，其中a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(1≤n≤19，nN∈＋)．一个等比数列{bn}，其中b15＝1，类比等差数列{an}，{bn}有何结论？[解题过程]∵在等差数列{an}中，a10＝0，∴a1＋a19＝a2＋a18＝…＝a8＋a12＝a9＋a11＝0，即a19－n＋an＋1＝0，a18－n＋an＋2＝0，a17－n＋an＋3＝0，……∴a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋a19－n.∵b15＝1，∴b1b29＝b2b28＝…＝b14b16＝1，即b29－nbn＋1＝b28－nbn＋2＝…＝b14b16＝1.∴有b1b2…bn＝b1b2…b29－n(1≤n≤29，nN∈＋)．2.已知命题：“若数列{an}是等比数列，且an>0，则数列bn＝na1a2…an(n∈N*)也是等比数列”类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？解析：若数列{an}是等差数列，则数列bn＝a1＋a2＋…＋ann是等差数列．通过计算可得下列等式：23－13＝3×12＋3×1＋1；33－23＝3×22＋3×2＋1；43－33＝3×32＋3×3＋1；⋮(n＋1)3－n3＝3×n2＋3×n＋1.将以上各等式两边分别相加，得(n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n，由题目可获取以下主要信息：①给出了求前n个正整数平方和的方法；②类比此法写出求前n个正整数的立方和．解答本题可类比所给求12＋22＋32＋…＋n3的和的解法，将n个等式分别相加即可求得．即12＋22＋32＋…＋n2＝16n(n＋1)(2n＋1)．类比上述求法，请你求出13＋23＋33＋…＋n3的值．[解题过程]∵24－14＝4×13＋6×12＋4×1＋1，34－24＝4×23＋6×22＋4×2＋1，44－34＝4×33＋6×32＋4×3＋1，⋮(n＋1)4－n4＝4×n3＋6×n2＋4×n＋1.将以上各式两边分别相加，得(n＋1)4－14＝4×(13＋23＋…＋n3)＋6×(12＋22＋…＋n2)＋4×(1＋2＋…＋n)＋n∴13＋23＋…＋n3＝14n＋14－14－6×16nn＋1·2n＋1－4×nn＋12－n＝14n2(n＋1)2.3.设f(x)＝12x＋2，类比课本中推导等差数列前n项和公式的方法，求f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值．解析：∵f(x)＝12x＋2，∴f(x)＋f(1－x)＝12x＋2＋121－x＋2＝12x＋2＋2x2＋2·2x＝2＋2x22x＋2＝12＝22.令S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(5)＋f(6)则S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(－4)＋f(－5)∴2S＝[f(－5)＋f(6)]＋[f(－4)＋f(5)]＋…＋[f(5)＋f(－4)]＋[f(6)＋f(－5)]＝12×22＝62.∴S＝32.