4.5增长速度的比较4.6函数的应用（二）第四章指数函数、对数函数与幂函数学习目标1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，并能够运用它们的性质，解决某些简单的实际问题.2.知道直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的差异.3.了解和体会函数模型的广泛应用，培养学生应用数学的意识及分析问题、解决问题的能力.重点：结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性；会运用函数模型解决问题.难点：会利用指数函数、幂函数和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢.知识梳理1.如何比较函数值变化的快慢？平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比，这也可以理解为：自变量每增加一个单位，函数值将增加若干个单位.因此可用平均变化率来比较函数值变化的快慢.2.常见的函数模型及增长特点（1）指数函数模型指数函数模型y＝ax（a>1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧增长，形象地称为“指数爆炸”.（2）对数函数模型对数函数模型y＝logax（a>1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.（3）幂函数模型幂函数y＝xn（n>0）的增长速度介于指数函数的增长速度和对数函数的增长速度之间.特别地，一次函数的增长为线性增长（或直线增长）.3.比较幂值大小的三种方法（1）若指数相同，底数不同，则考虑使用幂函数的性质进行比较.（2）若指数不同，底数相同，则考虑使用指数函数的性质进行比较.（3）若指数与底数都不同，则考虑引入中间数，使这个数的底数与一个所比较数的底数相同，指数与另一个所比较数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小.4.指数型函数、对数型函数模型的应用（1）指数型函数模型y＝max+b（a>0且a≠1，m≠0），在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等问题都可用指数型函数模型来表示.（2）对数型函数模型：y＝mlogax+c（m≠0，a>0且a≠1），对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算法则求解.（3）指数型、对数型函数应用题的解题思路：①依题意，找出或建立数学模型；②依实际情况确定解析式中的参数；③依题设数据解决数学问题；④得出结论.5.建立拟合函数模型解决实际问题的步骤题型一增长速度的比较常考题型例1（1）当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是（）A.y＝10000xB.y＝log2xC.y＝x1000D.y＝2xe（2）四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907关于x呈指数函数变化的变量是.【解析】（1）由于指数型函数的增长是爆炸式增长，故当x越来越大时，函数y＝2xe的增长速度最快.（2）以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的.从表中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化.【答案】（1）D（2）y2训练题1.［2019·江西师大附中高一检测］某山区绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x年，绿色植被的面积可增长为原来的y倍，则函数y＝f（x）的大致图像为（）ABCD【归纳总结】（1）大多数实际问题不能事先知道其函数模型，要通过科学观察和测试得出一些数据，绘出各点得到散点图，根据散点图的形状，通过函数拟合的方法确定函数模型.（2）数据拟合的步骤①以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点；②依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数模型，并设出其一般形式；③取特殊数据代入，求出函数的具体解析式；④检验所得函数是否符合实际.题型二比较函数值的大小例2［2019·宁夏银川一中高一期末］当2x2>log2xB.x2>2x>log2xC.2x>log2x>x2D.x2>log2x>2x【解析】（方法一：图像法）在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x在区间（2，4）上的图像（图略），从上往下依次是y...
