(2011·湖北高考，15)给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案如图所示：由此推断，当n＝6时，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案共有________种，至少有两个黑色正方形相邻．．的着色方案共有________种．(结果用数值表示)解析：(1)以黑色正方形的个数分类，①若有3个黑色正方形，则有C43＝4种；②若有2个黑色正方形，则有C52＝10(种)；③若有1个黑色正方形，则有C61＝6(种)；④若无黑色正方形，则有1种．∴共4＋10＋6＋1＝21(种)．(2)方法一：至少有2个黑色正方形相邻包括有2个黑色正方形相邻，有3个黑色正方形相邻，有4个黑色正方形相邻，有5个黑色正方形相邻，有6个黑色正方形相邻．①只有2个黑色正方形相邻，有A32＋A42＋C51＝23(种)；②只有3个黑色正方形相邻，有C21＋A32＋C41＝12(种)；③只有4个黑色正方形相邻，有C21＋C31＝5(种)；④只有5个黑色正方形相邻，有C21＝2(种)；⑤有6个黑色正方形相邻，有1(种)．共23＋12＋5＋2＋1＝43(种)．方法二：所有着色情况共有26＝64种，又由上知互不相邻的着色方案有21种．故至少有两个相邻的着色方案共有64－21＝43种．答案：2143有两种花色的正六边形地板砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A．26B．31C．32D．36方法一：查个数→列成数列→观察数列的前三项→归纳猜想第六项的个数方法二：观察所给图案→寻求变化规律→归纳猜想第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数[解题过程]方法一：有菱形纹的正六边形个数如下表，由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.图案123…个数61116…方法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需六个有纹正六边形围绕(第一个图案)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹六边形)，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为6＋5×(6－1)＝31.答案：B1.根据下图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有________个点．解析：观察图形的增长规律可得：图(2)从中心点向两边各增长1个点，图(3)从中心点向三边各增长2个点，图(4)从中心点向四边各增长3个点，如此，第n个图从中心点向n边各增长(n－1)个点，易得答案：1＋n·(n－1)＝n2－n＋1.本题若从图形的数值变化方面入手也可归纳出结果，但没有从图形的结构方面入手直接．答案：n2－n＋1如图，在圆内画一条线段，将圆分成两部分；画两条线段，彼此最多分割成4条线段，同时将圆分割成4部分；画三条线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画四条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分．那么：(1)在圆内画5条线段，它们彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？(2)猜想：圆内两两相交的n(n≥2)条线段，彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？由题目可获取以下主要信息：①在圆内画线段；②所画线段彼此分割线段的条数和将圆分割的部分的个数．解答本题可先从几个特殊的数值入手，再根据给出的数值特点进行归纳猜想．[解题过程]设圆内两两相交的n条线段彼此最多分割成的线段为f(n)条，将圆最多分割为g(n)部分．方法一：(1)f(1)＝1＝12，g(1)＝2＝12＋1＋22；f(2)＝4＝22，g(2)＝4＝22＋2＋22；f(3)＝9＝32，g(3)＝7＝32＋3＋22；f(4)＝16＝42，g(4)＝11＝42＋4＋22；所以n＝5时，f(5)＝25，g(5)＝52＋5＋22＝16.(2)根据题意猜想：圆内两两相交的n(n≥2)条线段，彼此最多分割为f(n)＝n2条线段，将圆最多分割为g(n)＝n2＋n＋22部分．方法二：(1)求f(n)同方法一， g(2)－g(1)＝2，g(3)－g(2)＝3，g(4)－g(3)＝4，∴g(5)－g(4)＝5，g(5)＝g(4)＋5＝11＋5＝16.(2)由(1)归纳猜测g(n)－g(n－1)＝n，∴累加得g(n)－g(1)＝2＋3＋4＋…＋n.∴g(n)＝(1＋2＋3＋…＋n)＋1＝nn＋12＋1＝n2＋n＋22.2.平面内有n条直线，其中任何两条都不平行，任何三条不过同一点，试归纳它们交点的个...
