高中数学 第三章 推理与证明 运用归纳推理解决数学问题拓展资料素材 北师大版选修1-2 课件VIP专享VIP免费

运用归纳推理解决数学问题归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，历史上许多数学结论的发现，往往都是通过归纳推理获得的．归纳推理对我们的数学学习也有着重要的指向作用，下面例谈如何运用归纳推理来解决一些数学问题．例１设在R上定义的函数()fx，对xR都有(2)(1)()fxfxfx，且(1)lg3lg2f，(2)lg3lg5f，试归纳出(2007)f的值．分析：我们先由已知条件求出(1)(2)(3)(8)ffff，，，…，的值，分析其特征，然后归纳猜想出(2007)f的值．解：(1)lg3lg2f，(2)lg3lg5f，(3)(2)(1)lg5lg2fff，(4)(3)(2)lg2lg3(1)ffff，(5)(4)(3)lg3lg5(2)ffff，(6)(5)(4)lg5lg2(3)ffff，(7)(6)(5)lg3lg2(1)ffff，(8)(7)(6)lg3lg5(2)ffff．由此观察可发现，函数()fx可能是一个以6为最小正周期的周期函数．故猜想(2007)(33463)(3)lg5lg2lg101fff．点评：归纳推理主要是通过观察、分析某类事物的部分对象，归纳其特征，然后猜想该类事物都具有这些特征，它的关键在于观察过程中如何发现规律．因此，为了更好地进行归纳推理，除要求同学们具备敏锐的观察力外，还要具备一定的数学知识，才能在数学的天空中展开丰富的想象．当然，由归纳推理得到的结论是否正确还有待运用演绎推理来证明，但归纳推理可以为我们的研究提供一种方向，避免研究时的盲目性．例2设na是集合22|0tsststZ≤≤，且，中所有的数从小到大排列的数列，且13a，25a，36a，49a，510a，612a，…．将数列na各项按照上小下大、左小右大的原则写成如右所示的三角形数表：（1）写出这个三角形数表中的第4行、第5行各数；（2）求出100a．分析：对于（1），只需按照集合中元素特征写出三角形数表中前三行各数的指数表示，并观察指数规律，据此归纳、抽象出第4、第5两行数的指数规律，即可写出第4行、第5行各数．对于（2），关键是判断出100a是这个三角形数表中第几行第几个数，进而便可用（1）所得的指数规律求出100a．解：（1）将前三行各数写成22ts的形式：第1行：10322；第2行：20522，21622；第3行：30922，311022，321222；由此归纳猜想：第4行：402217，412218，422220，432224；第5行：502233，512234，522236，532240，542248．即第4行各数依次是：17，18，20，24；第５行各数依次为：33，34，36，40，48．（2）由每行上数的个数与行数相同，即第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，…，由(1)1002nn≤（nN）得13n≤．由前13行共有1231391…个数．因此，100a应当是第14行中第9个数．所以148100221638425616640a．点评：这里我们运用归纳推理的思维方式解决了问题．特例试验，归纳猜想是理性思维的重要体现，是获得发现的源泉．学习中要善于运用归纳推理，大胆猜想和发现．