1/7新方法一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理讲义中考要求内容基本要求略高要求较高要求一元二次方程了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值一元二次方程的解法理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题知识点睛一、根的判别式1.一元二次方程根的判别式的定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到2224()24bbacxaa，显然只有当240bac时，才能直接开平方得：22424bbacxaa．也就是说，一元二次方程20(0)axbxca只有当系数a、b、c满足条件240bac时才有实数根．这里24bac叫做一元二次方程根的判别式．2.判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程20(0)axbxca的根由其系数a、b、c确定，它的根的情况(是否有实数根)由24bac确定．判别式：设一元二次方程为20(0)axbxca，其根的判别式为：24bac则①0方程20(0)axbxca有两个不相等的实数根21,242bbacxa．②0方程20(0)axbxca有两个相等的实数根122bxxa．③0方程20(0)axbxca没有实数根．若a，b，c为有理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根；若为完全平方式，同时24bbac是2a的整数倍，则方程的根为整数根．说明:(1)用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，0;有两个相等的实数根时，0;没有实数根时，0．(2)在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24bac判定方程的根的情况(有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根)．当240bac时，方程有两个相等的实数根(二重根)，不能说方程只有一个根．①当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点．3.一元二次方程的根的判别式的应用：一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：（1）运用判别式，判定方程实数根的个数；2/7（2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；（3）通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．二、韦达定理如果一元二次方程20axbxc（0a）的两根为12xx，，那么，就有212axbxcaxxxx比较等式两边对应项的系数，得1212bxxacxxa①，②①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系．因此，给定一元二次方程20axbxc就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数1x，2x满足①与②，那么这两数12xx，必是一个一元二次方程20axbxc的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题．利用根与系数的关系，我们可以不求方程20axbxc的根，而知其根的正、负性．在24bac≥0的条件下，我们有如下结论：当0ca时，方程的两根必一正一负．若0ba≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0ba，则此方程的正根小于负根的绝对值．当0ca时，方程的两根同正或同负．若0ba，则此方程的两根均为正根；若0ba，则此方程的两根均为负根．⑴韦达定理：如果20(0)axbxca的两根是1x，2x，则12bxxa，12cxxa．(隐含的条件：0)⑵若1x，2x是20(0)axbxca的两根(其中12xx)，且m为实数，当0时，一般地：①121()()0xmxmxm，2xm②12()()0xmxm且12()()0xmxm1xm，2xm③12()()0xmxm且12()()0xmxm1xm，2xm特殊地：当0m时，上述就转化为20(0)axbxca有两异根、两正根、两负根的条件．⑶以两个数12,xx为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：21212()0xxxxxx．⑷其他：①若有理系数一元二次方程有一根ab，则必有一根ab(a，b为有理数)．②若0ac，则方程20(0)axbxca必有实数根．③若0ac，方程20(0)axbxca不一定有实数根．④若0abc，则20(0)axbxca必有一根1x．⑤...
