第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率3.1.1倾斜角与斜率1.直线的倾斜角(1)定义:当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角.(2)特例:直线l与x轴平行或重合时,倾斜角为0°.(3)范围:0°≤α<180°.【思考】(1)如图:直线l的倾斜角是30°吗?提示:不是,直线l的倾斜角为150°.(2)倾斜角相等的直线的倾斜程度是否相同?提示:倾斜角相等的直线的倾斜程度相同.2.斜率的概念(1)定义:一条直线的倾斜角α的正切值.(2)特例:倾斜角是90°的直线没有斜率.(3)记法:k=tanα.【思考】为什么倾斜角为90°时,直线没有斜率?提示:当α=90°时,tanα不存在,由斜率的定义,可知此时直线斜率不存在.3.经过两个点的直线的斜率公式经过两个点P1(x1,y1),P(x2,y2),x1≠x2的直线的斜率:.1212yykxx【思考】利用过两点的直线的斜率公式能求任意一条直线的斜率吗?提示:不能,当直线与x轴垂直时,k=无意义.2121yyxx【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)倾斜角为α的直线只有一条.()(2)一条直线一定有倾斜角,也一定有斜率.()(3)直线的倾斜角越大,斜率越大.()提示:(1)×.倾斜角相等的直线有无数条.(2)×.直线一定有倾斜角,但是不一定有斜率,如与x轴垂直的直线.(3)×.倾斜角是锐角时,斜率为正,倾斜角是钝角时,斜率为负.2.已知直线l垂直于y轴,则l的倾斜角为________.【解析】由直线倾斜角的定义可得,垂直于y轴的直线l的倾斜角为0°.答案:0°3.已知直线l经过两点P(1,2),Q(-2,1),那么直线l的斜率为________.【解析】直线l的斜率k=答案:211.12313类型一直线倾斜角、斜率的概念【典例】1.(2019·高安高一检测)下列叙述中不正确的是()A.若直线的斜率存在,则必有倾斜角与之对应B.每一条直线都对应唯一一个倾斜角C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°D.若直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tanα2.已知直线l1的倾斜角为α,则l1关于y轴对称的直线l2的倾斜角用α表示为________.【思维·引】1.利用倾斜角、斜率的概念判断.2.作出图形,利用直线间的关系得出两直线倾斜角的关系.【解析】1.选D.A中若直线的斜率存在,则必有倾斜角与之对应,正确;B中每一条直线都对应唯一一个倾斜角,正确.C中与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°,正确;D中若直线的倾斜角为α,α=90°时,则直线的斜率不存在,因此不正确.2.由l1与l2关于y轴对称,得l1,l2的位置关系如图①,图②两种情况,分析得l2的倾斜角为180°-α.答案:180°-α【内化·悟】若一条直线存在斜率,那么这条直线的倾斜角有什么特点?提示:如果一条直线存在斜率,则倾斜角不等于90°.【类题·通】1.求直线倾斜角的方法及关注点(1)定义法:根据题意画出图形,结合倾斜角的定义找倾斜角.(2)关注点:结合图形求角时,应注意平面几何知识的应用,如三角形内角和定理及其有关推论.2.关于直线的斜率定义的前提是α≠90°,即α=90°时没有斜率,所以直线的倾斜角与斜率之间不是一一对应的.【习练·破】1.下列说法中正确的个数是()①若两直线的倾斜角相等,则它们的斜率也一定相等;②一条直线的倾斜角为-30°;③倾斜角为0°的直线只有一条;④直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α<180°}与直线集合建立了一一对应关系.A.0B.1C.2D.3【解析】选A.若两直线的倾斜角为90°,则它们的斜率不存在,①错;直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°,②错;所有垂直于y轴的直线倾斜角均为0°,③错;不同的直线可以有相同的倾斜角,④错.2.如图,直线l1的倾斜角是150°,l2⊥l1,l2与x轴相交于点A,l2与l1相交于点B,l1与x轴交于点C,l3平分∠BAC,则l3的倾斜角为()A.60°B.45°C.30°D.20°【解析】选C.由题意知∠BAC+∠ABC=150°,即∠BAC+90°=150°,则∠BAC=60°,所以l3的倾斜角为30°.类型二直线倾斜角、斜率的计算【典例】1.(2019·海淀高一检测)若A(1,0),B(-3,m),若直线AB的斜率为-,则m=()A.-8B.-2C.2D.8122.(2019·台州高一检测)过A(-1,2),B(3,-2)两点的直线的倾斜角为()A.135°B.120°C.60°D.45°3.(2019·杨浦高一检测)已知点M(0,b)与点N(-,1)连成直线的倾斜角为120°,则b=________.3【思维·引】1.代入斜率公式,解出m.2.先计算斜率,再求倾斜角.3.先由倾斜角得...
