【考纲下载】1.掌握一些简单的数列求和的方法.2.能应用数列求和解决一些数列问题.第4讲数列求和＝数列求和的方法1．公式法(1)等差数列的前n项和Sn＝＝.(2)等比数列的前n项和Sn＝2．倒序相加法：如果一个数列{an}，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和倒着写的两个式子相加，就得到一个常数列的和，进而求出数列的前n项和．提示：倒序相加法用的时候有局限性，只有首末两项的和是个常数时才可以用．3．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项乘积组成，此时可把式子Sn＝a1＋a2＋…＋an两边同乘以公比q，得到qSn＝a1q＋a2q＋…＋anq，两式错位相减整理即可求出Sn.提示：错位相减法的实质是构造了一个新的等比数列，再用公式法求和，用公式法求和时要弄清是n项的和还是n－1项的和．4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项和变成首尾若干项之和．5．分组转化法：把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列的求和公式求解．提示：用分组转化法求数列的前n项和时，要注意分解后特殊数列适用的前提条件，例如对公比的讨论、对数列项数奇偶性的讨论等．1．等差数列{an}的通项公式为an＝2n－1，则由bn＝所确定的数列{bn}的前n项和为()A．n(n＋2)B.n(n＋4)C.n(n＋5)D.n(n＋1)解析： an＝2n－1，∴a1＋a2＋…＋an＝＝n2.∴bn＝＝n.∴b1＋b2＋…＋bn＝.答案：DA.B.C．SnD.解析：由等比数列{an}的首项为1，公比为q，则q≠1时，前n项之和为Sn＝，等比数列的首项为1，公比为，则数列的前n项之和为当q＝1时，有的前n项之和为答案：B2．等比数列{an}的首项为1，公比为q，前n项之和为Sn，则等于A．200B．－200C．400D．－400解析：S100＝(1－5)＋(9－13)＋…＋[(4×99－3)－(4×100－3)]＝(－4)×50＝－200.答案：B3．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1(4n－3)，则S100等于()解析： 答案：4．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于________．思维点拨：分析通项公式，可转化为两个等比数列{x2n}、与常数列{2}的求和问题．将数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，即能分别求和，然后再合并．【例1】求和：Sn＝解：当x＝±1时，Sn＝4n.当x≠±1时，∴Sn＝用乘公比错位相减法求和时，应注意1．要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；2．在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．实数，且c≠0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设a＝，c＝，bn＝n(1－an)，n∈N*，求数列{bn}的前n项和Sn.【例2】设数列{an}满足a1＝a，an＋1＝can＋1－c，n∈N*，其中a，c为解：(1) an＋1－1＝c(an－1)，∴当a≠1时，{an－1}是首项为a－1，公比为c的等比数列．∴an－1＝(a－1)cn－1，即an＝(a－1)cn－1＋1.当a＝1时，an＝1仍满足上式．∴数列{an}的通项公式为an＝(a－1)cn－1＋1(n∈N*)．(2)由(1)得(1)设bn＝.证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn.证明：(1) an＋1＝3an＋3n＋1，∴，得bn＋1＝bn＋1，b1＝＝1，∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列．变式2：在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝3an＋3n＋1(n∈N*)．解：由(1)易知，数列是首项和公差均为1的等差数列，所以＝n，∴an＝n×3n.Sn＝1×31＋2×32＋…＋(n－1)×3n－1＋n×3n，3Sn＝1×32＋2×33＋…＋(n－1)×3n＋n×3n＋1，两式相减，得2Sn＝n×3n＋1－(31＋32＋…＋3n)，故Sn＝常见的裂项技巧有：【例3】等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.(1)求an与bn；(2)求的值．解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正数，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1，依题意有解得或(舍去)，故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.(2)由(1)知Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)，所以变式3：已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足(1)求Sn的表达式；(2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn.解：(1) ，an＝Sn－Sn－1，(n≥2)，∴，即2Sn－1Sn＝Sn...
