第一章推理与证明在日常生活和学习中，我们常常需要进行推理。例如：一个人看见一群乌鸦都是黑的，于是断言“天下乌鸦都是黑的”.“每一个司机都应该遵守交通规则，小李是司机，所以小李应该遵守交通规则.”“如果a,b,c都是实数，且a>b>c，那么a>c.”章首语§1归纳与类比归纳推理情景1摘译1742年6月30日欧拉给哥德巴赫的一封信：“正如在你给我的来信中所观察到的那样，每个偶数看来是两个素数之和，还蕴藏着每个数如果是两个素数之和，则它可以是任意多个素数之和，个数由你而定。如果给定一个偶数n，则它是两个素数之和，对n-2也是如此，则n是三到四个素数之和。如果n是奇数，则它一定是三个素数之和，因为n-1是两个素数之和。所以，n是一个任意多个素数之和。虽然我现在还不能证明，但我肯定每个偶数是两个素数之和。......”哥德巴赫猜想的证明历程•1920年，挪威的布朗证明了“9+9”。•1924年，德国的拉特马赫证明了“7+7”•1932年，英国的埃斯特曼证明了“6+6”。•1937年，意大利的蕾西先后证明了“5+7”,“4+9”,“3+15”和“2+366”。•1938年，苏联的布赫夕太勃证明了“5+5”。•1940年，苏联的布赫夕太勃证明了“4+4”。•1956年，中国的王元证明了“3+4”。稍后证明了“3+3”和“2+3”。•1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1+c”，其中c是一很大的自然数。•1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1+5”，中国的王元证明了“1+4”。•1965年，苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫，及意大利的朋比利证明了“1+3”。•1966年，中国的陈景润证明了“1+2”。1、蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。2、三角形的内角和是180°，凸四边形的内角和是360°，凸五边形的内角和是540°由此我们猜想：凸n边形的内角和是(n-2)×180°情景2根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性。我们将这种推理方式称为归纳推理。特点：由部分到整体,由个别到一般探求新知足球有12块黑皮子，20块白皮子，黑皮是五边形，白皮是六边形，我终于数清它有60个顶点，可棱数始终没数清楚.“复杂的多面体有许多面、顶点和棱”，这是多面体给人们最初的印象，那么面数、顶点数、棱数有没有什么关系呢？如果有关系就可以帮助弄清楚棱数了.情景3多面体顶点数V面数F棱数E三棱锥四棱锥三棱柱四棱柱正八面体6688121288661212665599555588444466∴从这些事实中，可以归纳出：V+F-E=2欧拉公式观察到122152221173221257422165537都是素数,归纳猜想:任何形如221n的数都是素数.第5个费马数52216416700417不是素数，从而推翻了费马的猜想。后来人们发现67822221,21,21都是合数.新的猜想:形如221n(5n)的数都是合数.情景4例1、(2011山东高考)设函数f(x)=2xx(x>0),观察:fl(x)=f(x)=2xx;f2(x)=f(f1(x))=34xx;f3(x)=f(f2(x))=78xx;f4(x)=f(f3(x))=1516xx……根据以上事实,由归纳推理可得:当n∈N﹡且2n时,fn(x)=f(fn－1(x))=_____.实例应用112233例2、传说在古老的印度有一座神庙,神庙中有三根针和套在一根针上的64个圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则,把圆环从一根针上全部移到另一根针上,第三根针起“过渡”的作用.11..每每次次只只能能移移动动11个个圆圆环环;;22..较较大大的的圆圆环环不不能能放放在在较较小小的的圆圆环环上上面面..请你推测:把n个圆环从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?僧侣们能否完成这项任务？实例应用123设na为把n个圆环从1号针移到3号针的最少次数,则n=1时：11a,123设na为把n个圆环从1号针移到3号针的最少次数,则n=1时:11a23an=2时:123设na为把n个圆环从1号针移到3号针的最少次数,则n=1时:n=2时:23a11an=3时:37a123把上面两个圆环作为一个整体，则归结为n=2的情形，把第把第11、、22个圆环从个圆环从11到到22;;把第把第33个圆环从个圆环从11到到33;;把第把第11、、22个圆环从个圆环从22到到33..设na为把n个圆环从1号针移到3号针的最少次数,则n=1时:n=2时:23an=3时:37a11a...
