平面立体几何VIP专享VIP免费

平面立体几何专题一共点、共线、共面问题证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证第三点是两个平面的公共点，则此点必在两个平面的交线上.证明共面问题，一般有两种证法：一是由某些元素确定一个平面，然后证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干个平面，然后证明这些平面重合．1．三点共线问题2．共面问题证明三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题．3．三线共点问题【例1】如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝12.∶求证：(1)E、F、G、H四点共面；(2)EG与HF的交点在直线AC上．证明(1) BG∶GC＝DH∶HC，∴GH∥BD. E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD，∴EF∥GH，∴E，F，G，H四点共面．(2) G，H不是BC，CD的中点，∴EF∥GH，且EF≠GH，故EFHG为梯形．∴EG与FH必相交，设交点为M，∴EG⊂平面ABC，FH⊂平面ACD，∴M∈平面ABC，且M∈平面ACD，∴M∈AC，即GE与HF的交点在直线AC上．立体几何中的平行与垂直关系的判定定理与性质定理，这些定理之间并不是彼此孤立的，线线、线面、面面之间的平行与垂直关系可相互转化，垂直与平行之间也可相互转化．(1)不同层次的平行关系的转化．专题二平行间、垂直间及平行与垂直间的转化(2)不同层次的垂直关系的转化．(3)平行与垂直的转化．【例2】如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点．(1)若PA＝PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；(2)点M在线段PC上，PM＝tPC，试确定实数t的值，使得PA∥平面MQB.(1)证明连接BD， 四边形ABCD为菱形．∴AD＝AB.又∠BAD＝60°，∴△ABD为正三角形．又Q为AD的中点，∴AD⊥BQ. PA＝PD，Q为AD的中点，∴AD⊥PQ.又BQ∩PQ＝Q，∴AD⊥平面PQB.又AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD.(2)解当t＝13时，使得PA∥平面MQB.理由是：连接AC交BQ于N，交BD于O，则O为BD的中点．又 BQ为△ABD的边AD上的中线，∴N为正三角形ABD的中心．令菱形ABCD的边长为a，则AN＝33a，AC＝3a. PA∥平面MQB，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面MQB＝MN，∴PA∥MN，则PMPC＝ANAC＝33a3a＝13，即PM＝13PC，故t＝13.空间中的角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角(简称线线角、线面角、面面角)．用直接法：求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，空间角的计算步骤：一作，二证，三计算．(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角)．(2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影)．(3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②垂线法；③垂面法．专题三空间角的计算(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值；(2)证明平面PDC⊥平面ABCD；(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．【例3】如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC＝1，PC＝23，PD＝CD＝2.(1)解如图所示，在四棱锥P-ABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以AD＝BC且AD∥BC.故∠PAD为异面直线PA与BC所成的角．(2)证明由于底面ABCD是矩形，故AD⊥CD.又因为AD⊥PD，CD∩PD＝D，所以AD⊥平面PDC.而AD⊂平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD.(3)解在平面PDC内，过点P作PE⊥CD交直线CD于点E，连接EB.由于平面PDC⊥平面ABCD，而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线，故PE⊥平面ABCD.由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角．又因为AD⊥PD，在Rt△PDA中，tan∠PAD＝PDAD＝2，所以异面直线PA与BC所成角的正切值为2.在△PDC中，由于PD＝CD＝2，PC＝23，可得∠PCD＝30°.在Rt△PEC中，PE＝PCsin30°＝3.由AD∥BC，AD⊥平面PDC，得BC⊥平面PDC，因此BC⊥PC.在Rt△PCB中，PB＝PC2＋BC2＝13.在Rt△PEB中，sin∠PBE＝PEPB＝3913.所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为3913.空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种．两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况．(1)证明线线平行的方法①线线平行的定义；②公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行；③线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b...