算术平均数与几何平均数一、复习引入：1．重要不等式：如果2．定理：如果 a,b 是正数，那么我们称的算术平均数，称的几何平均数成立的条件是不同的：前者只要求 a,b 都是实数，而后者要求 a,b 都是正数奎屯王新敞新疆“当且仅当”的含义是充要条件奎屯王新敞新疆二、讲解新课：1奎屯王新敞新疆公式的等价变形：ab≤，ab≤（）2奎屯王新敞新疆2． ≥2（ab＞0），当且仅当 a＝b 时取“＝”号；3．关于“平均数”的概念如果 则：叫做这 n 个正数的算术平均数；叫做这 n 个正数的几何平均数；推广：≥ 。语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数奎屯王新敞新疆上述重要不等式有着广泛的应用，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等奎屯王新敞新疆它们涉及到的题目活，变形多，必须把握好凑形技巧奎屯王新敞新疆今天，我们就来进一步学习均值不等式的应用奎屯王新敞新疆三、讲解范例：例 1 已知为两两不相等的实数，求证：证明： 以上三式相加：∴例 2 已知 a,b,c,d 都是正数，求证：分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识奎屯王新敞新疆证明： a,b,c,d 都是正数，∴ab＞0，cd＞0，ac＞0，bd＞0奎屯王新敞新疆得 1由不等式的性质定理 4 的推论 1，得即点评：用均值不等式证明题时，要注意为达到目标可先宏观，而后微观；均值不等式在运用时，常需先凑形后运用；均值不等式和不等式的基本性质联合起来证题是常用的行之有效的方法奎屯王新敞新疆例 3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 4800m3,深为 3m，如果池底每 1m2的造价为 150 元，池壁每 1m2的造价为 120 元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理奎屯王新敞新疆解：设水池底面一边的长度为 xm，水池的总造价为 l 元，根据题意，得 当因此，当水池的底面是边长为 40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600 元奎屯王新敞新疆评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件奎屯王新敞新疆我们应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理(即均值不等式)顺利解决了本章引...
