1 2014 届立几中档题训练（每日两练）1、在底面是菱形的四棱锥 P—ABCD 中,点 E 在 PD 上,且 PE:ED= 2: 1.(Ⅰ)证明 PA⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求二面角 E-AC-D 的大小: (Ⅲ)在棱 PC 上是否存在一点 F, 使 BF∥平面 AEC?证明你的结论.2、如图 1，已知 ABCD 是上．下底边长分别为 2 和 6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴 OO1折成直二面角，如图 2.（Ⅰ）证明：AC⊥BO1；（Ⅱ）求二面角 O－AC－O1的正弦值。.3、如图，已知两个正四棱锥 P-ABCD 与 Q-ABCD 的高都是 2，AB=4. (Ⅰ)证明 PQ⊥平面 ABCD；(Ⅱ)求异面直线 AQ 与 PB 所成的角余弦值；2 (Ⅲ)求点 P 到平面 QAD 的距离.4、如图 3，已知直二面角，，，，，，直线和平面所成的角为．（I）证明 （II）求二面角的正切值Error: Reference source not found4．解：（I）在平面内过点作于点，连结．QBCPADABCQPOH3因为，，所以，又因为，所以．而，所以，，从而，又，所以平面．因为平面，故．（II）解法一：由（I）知，，又，，，所以．过点作于点，连结，由三垂线定理知，．故是二面角的平面角．由（I）知，，所以是和平面所成的角，则，不妨设，则，．在中，，所以，于是在中，．故二面角的正切值为 2．解法二：由（I）知，，，，故可以为原点，分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）．因为，所以是和平面所成的角，则．不妨设，则，．在中，，所以．则相关各点的坐标分别是，，，．所以，．设是平面的一个法向量，由得取，得．ABCQPOxyz4易知是平面的一个法向量．设二面角的平面角为，由图可知，．所以故二面角的余弦值为3、解法一 （Ⅰ）连结 AC、BD，设.由 P－ABCD 与 Q－ABCD 都是正四棱锥，所以 PO⊥平面 ABCD，QO⊥平面 ABCD.从而 P、O、Q 三点在一条直线上，所以 PQ⊥平面ABCD.（Ⅱ）由题设知，ABCD 是正方形，所以 AC⊥BD. 由（Ⅰ），QO⊥平面 ABCD. 故可分别以直线 CA、DB、QP 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系（如图），由题条件，相关各点的坐标分别是 P（0，0，2），A（，0，0），Q（0，0，－2），B（0，，0）.所以于是.从而异面直线 AQ 与 PB 所成的角是余弦是..(Ⅲ)由（Ⅱ），点 D 的坐标是（0，－，0），，，设是平面 QAD 的一个法向量，由得. 取 x=1 ， 得.所以点 P 到平面 QAD 的距离.解法二 （Ⅰ）取 AD 的中点，连结 PM，QM.因为 P－ABCD 与 Q－AB...
