三角函数中的数学思想方法扬中市第二高级中学 季成龙摘要：本文主要研究了三角函数一章中所渗透的各种数学思想。从其涵义出发，具体介绍了数形结合，方程函数，以及化归等解决问题的方法，并通过大量习题详细讲解了它们在本章知识中的应用。在此基础上，提出了运用数学思想探究问题规律的教学观点。 关键词：三角函数；数学思想方法；数形结合思想；化归思想；思维能力 三角函数问题是中学数学重要内容之一，在数学的各个分支都有广泛的应用，同时也是历年高考的一个热点。三角函数问题中所蕴涵的数学思想，更是值得我们在教学过程中去开发和领悟。在三角函数一章的学习和复习中，熟练掌握以下几种数学思想方法，有助于提高同学们灵活处理问题和解决问题的能力。一、数形结合思想-数形结合思想即运用数与形的关系来解决数学问题。可以借助数的精确性来说明形的某些属性；也可借助形的直观性来阐明数之间的某种关系。体现在三角函数中是利用单位圆中的三角函数线、三角函数图象求三角函数定义域、解三角不等式、求单调区间、讨论方程实根的个数、比较大小等。例 1．函数的定义域是解析：该函数的定义域即不等式组的解集，即的解集若用传统方法则要求与的交集，比较麻烦，若画出的图象如图 2 所示，再由，易得例 2．求方程实根的个数解析：此方程为超越方程，可通过数形结合法求出方程的实根个数。在同一坐标系中画出函数的图象，如图 3 所示，两个图象有三个交点,即方程有三个实根。 二、函数与方程思想三角函数本身就一种特殊的函数，解决三角函数问题自然离不开函数与方程的思想。体现在某些三角函数问题可用函数的思想求解参数的值（范围）问题；有些三角函数问题可以直接转化为一元二次方程求解，还有一些三角问题，依据题设条件和求角结构，适当选取三角公式联立组成方程组，以达到消元求值的目的，这是方程的思想在三角求值、证明等问题中的最佳表现。0yx例 3．求当函数的最大值为 1 时的值解析：依据题设条件，可转化为关于的二次函数，利用二次函数在闭区间上求最值的方法求解。设求函数的最大值为 1 时的值等价于求闭区间上的二次函数的最大值为 1 时的值（1）当时，即时，， 有最大值为，由题设可知（舍去）；（2）当时，即时，， 有最大值为，由题设可知=1，解得 （正号舍去）（3）当时，即时，， 有最大值为，由题设可知综上可得或例 4．已知，求的值解法 1：直接解方程组若，则，即由得解法 2：构造一般方程由...
