第二节 算术平均数与几何平均数考纲点击掌握两个 ( 不扩展到三个 ) 正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用 .热点提示1. 以选择题或填空题的形式考查利用基本不等式求最值问题 .2. 以解答题形式考查求函数最值、证明不等式及解决实际问题 .1．基本不等式 若 a，b∈R，则 a2＋b2_____2ab，当且仅当___________时取“＝”． ≥ a ＝ b 2．算术平均数与几何平均数定理 如果，a，b 是_______，那么a＋b2 ___ ab，当且仅当_______时取“＝”．这一定理又可叙述为：两个______的____________不小于它们的_______________． 正数 ≥ a ＝ b 正数 算术平均数 几何平均数 3．常用不等式 (1)若 x>0，则 x＋1x≥2(当且仅当_______时取“＝”)； 若 x≠0，则 x＋1x___2 或 x＋1x____－2，即|x＋1x|___2(当且仅 当 x＝___或 x＝_____时取“＝”)． x ＝ 1 ≥ ≥ 1 － 1 ≥ (2)①a2＋b2____(a＋b)22； ②ab____a＋b22； ③a＋b22____a2＋b22； ④(a＋b)2____4ab (3)①－a2＋b22____ab____a2＋b22； ②a2＋b2____2|ab|. ≥ ≥ ≥ ≤ ≤ ≤ ≤ 4．利用算术平均数与几何平均数定理求最大、最小值问题 (1)如果 x，y∈(0，＋∞)，且 xy＝p(定值)，那么当 x＝y 时，x＋y 有最____值_____. (2)如果 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝s(定值)， 那么当 x＝y 时，xy 有最_____值____. 小 大 2 p s24 1．下列结论中正确的是( ) A．当 x>0 且 x≠1 时，lgx＋ 1lgx≥2 B．当 x>0 时， x＋ 1x≥2 C．当 x≥2 时，x＋1x的最小值是 2 D．当 054，则 f(x)＝4x＋14x－5的最小值为( ) A．－3 B．2 C．5 D．7 【解析】 f(x)＝4x＋14x－5＝4x－5＋14x－5＋5， x>54，∴4x－5>0，∴4x－5＋14x－5≥2， 故 f(x)≥2＋5＝7，等号成立的条件是 x＝32. 【答案】 D3．若直线 ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)平分圆 x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0，则1a＋4b的最小值为( ) A．8 B．12 C．20 D．16 【解析】 直线平分圆， ∴直线过圆心，又圆心坐标为(－4，－1)， ∴－4a－b＋1＝0，∴4a＋b＝1， ∴ 1a ＋ 4b ＝ (4a ＋ b)1a＋4b ＝ 4 ＋ 16ab ＋ ba ...
