3.1.3 两角和与差的正切学习目标1. 能推导并掌握两角和与差的正切公式；2 ．能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明．课堂互动讲练课前自主学案知能优化训练3.1.3 两角和与差的正切课前自主学案温故夯基1．同角的三角函数关系 tanα＝_________ (α≠_______________． 2．tanπ4＝___，tan＝3π4 ＝_____. sinαcosα kπ＋π2，k∈Z) 1－1知新益能问题探究提示：α，β∈R 且 α、β、α－β≠kπ＋π2，k∈Z，且 tanαtanβ≠－1. 1 ．公式 T(α － β) 中，角 α 、 β 的使用范围是什么？2 ．公式 T(α ＋ β) 中 α ， β 的使用范围是什么？提示：α，β∈R 且 α，β，α＋β≠kπ＋π2，k∈Z. 课堂互动讲练考点突破两角和与差的正切公式灵活应用两角和与差的正切公式应用时，要注意角的特殊化、式子的变形等，而公式的变形也要明确目的，准确变形．例例 11求出下列各式的值： (1)3－tan15°1＋ 3tan15°； (2)tan50°－tan20°－ 33 tan50°tan20°. 【思路点拨】 观察式子及系数的特点，凑出和差公式的形式．其中第 (2) 题是两角正切公式的变形应用，在已知角 50° 、 20° 的条件下，只能向特殊角 30° 转化．【解】 (1)原式＝ tan60°－tan15°1＋tan60°tan15°＝tan45°＝1. (2) tan30°＝tan(50°－20°)＝ tan50°－tan20°1＋tan50°tan20°＝33 ， ∴tan50°－tan20°＝ 33 (1＋tan50°tan20°)， ∴原式＝33 (1＋tan50°tan20°)－ 33 tan50°tan20°＝ 33 . 【名师点评】 在三角函数的化简、求值过程中，通常存在着两种形式的逆用：公式的逆用和特殊角三角函数的逆用．当式子中出现12，1，32 ， 3这些特殊角的三角函数值时，往往就是“由值变角”的一种提示，可以根据问题的需要，将常数用三角函数式表示出来，以构成适合公式的形式，从而达到化简的目的． 自 我 挑 战 1 求 值 ： (1)tan70° － tan10° －3tan70°tan10°； (2)tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋ 3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)． 解：(1)原式＝tan(70°－10°)(1＋tan70°tan10°)－ 3tan70°tan10°＝ 3(1＋tan70°tan10°)－ 3tan70°tan10°＝ 3. (2) 原 式 ＝ tan[( π6 － θ) ＋ ( π6 ＋ θ)][1 － tan( π6 －θ)·tan(π6＋θ)]＋ 3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)＝tanπ3[1－tan(π6－θ)tan(π6＋θ)]＋ 3tan(π6－θ)·t...
