第 四 节 数列的综合问题与数列的应用 重点难点 重点：等差、等比数列的综合及应用． 难点：灵活运用数列知识，解决有关数列的综合问题． 知识归纳 现实生活中涉及到存贷利息、企业股金、产品利润、人口增长、产量增加、工作效率、图形面积、曲线长度等实际问题，常常与数列有关，需考虑用数列的知识来加以解决． 如何求解数列应用题 (1)审题：仔细读题，理解题意，达到如下要求： ①明确问题属于下列哪类数列模型：等差数列模型，等比数列模型，递推数列模型，分期付款模型等． ②明确题目中的主要已知事项(即条件)，用数列中的什么量来表达． ③明确所求结论是什么，是求 an，还是 Sn？还是求n? (2)建模：抓住数量关系，联想相关数学知识和数学方法，恰当引入参变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达，将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，写出满足题意的数学关系式． (3)求解：运用相关数列知识解答该数列问题． (4)还原：将解答结果还原为实际问题，注意结论是否合乎实际． 误区警示 1．注意区分等差数列模型与等比数列模型，通项与前 n 项和，尤其是存款利息问题． 2．注意理清分期付款，森林砍伐，细胞分裂等一类模型的内部关系． [例 1] 等差数列{an}的公差 d≠0，且 a1、a4、a8成等比数列，则a1＋a4＋a8a2＋a5＋a9＝________. 分析：此类问题一般依据条件和等差(比)数列的通项(或前 n 项和)公式列方程求解．解方程时，注意等比数列的首项和公比都不能为 0. 等差、等比数列的综合问题 解析： a1、a4、a8成等比数列，∴a24＝a1·a8， 又{an}成等差数列，公差 d， ∴(a1＋3d)2＝a1(a1＋7d)，∴a1＝9d≠0， ∴原式＝ 9d＋12d＋16d10d＋13d＋17d＝37d40d＝3740. 答案：3740 (2011·天津高考)已知{an}为等差数列，其公差为－2，且 a7是 a3与 a9的等比中项，Sn为{an}的前 n 项和，n∈N*，则 S10 的值为( ) A．－110 B．－90 C．90 D．110 解析：因为 a7是 a3与 a9的等比中项，所以 a27＝a3a9，又因为公差为－2，所以(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，解得a1＝20，通项公式为 an＝20＋(n－1)(－2)＝22－2n，所以S10＝10a1＋a102＝5×(20＋2)＝110，故选择 D. 答案： D[例 2] 如图，n2 个(n≥4)正数排成 n 行 n 列方阵，其中每一行的数都成等差数列，每一列的数都成等比数列，并且所有公比都等于 q，若 a11＝12，a24＝1，a14＝2. a11 ...
