高中数学 第三章 推理与证明 反证法典例导航课件 北师大版选修1-2 课件VIP专享VIP免费

若 a、b、c 均为实数，且 a＝x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3， c＝z2－2x＋π6.求证：a，b，c 中至少有一个大于 0. 由题目可获取以下主要信息： ①a、b、c 是含有 x，y，z 的代数式； ②含有“至少”的命题需要用反证法． 解答本题可先假设命题的反面成立，再利用正确的推理得到矛盾． [证明过程] 假设 a、b、c 都不大于 0，即 a≤0，b≤0，c≤0， 所以 a＋b＋c≤0. 而 a＋b＋c＝x2－2y＋π2 ＋y2－2z＋π3 ＋z2－2x＋π6 ＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π ＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3. 所以 a＋b＋c＞0，这与 a＋b＋c≤0 矛盾，故 a、b、c中至少有一个大于 0. 1.已知 x，y＞0，且 x＋y＞2. 求证：1＋xy ，1＋yx 中至少有一个小于 2. 证明： 假设1＋xy ，1＋yx 都不小于 2. 即1＋xy ≥2，1＋yx ≥2. x＞0，y＞0， ∴1＋x≥2y,1＋y≥2x. ∴2＋x＋y≥2(x＋y)， 即 x＋y≤2，与已知 x＋y＞2 矛盾． ∴1＋xy ，1＋yx 中至少有一个小于 2. 已知：一点 A 和平面 α. 求证：经过点 A 只能有一条直线和平面 α 垂直．[ 证明过程 ] 根据点 A 和平面 α 的位置关系，分两种情况证明．(1) 如图①，点 A 在平面 α 内，假设经过点 A 至少有平面 α 的两条垂线 AB 、 AC ，那么 AB 、 AC 是两条相交直线，它们确定一个平面 β ，平面 β 和平面 α 相交于经过点 A 的一条直线 a. 图①因为 AB⊥ 平面 α ， AC⊥ 平面 α ， a⊂α ，所以AB⊥a ， AC⊥a ，在平面 β 内经过点 A 有两条直线都和直线 a 垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．(2) 如图②，点 A 在平面 α 外，假设经过点 A 至少有平面 α 的两条垂线 AB 和 AC(B 、 C 为垂足 ) ，那么 AB 、 AC 是两条相交直线，它们确定一个平面β ，平面 β 和平面 α 相交于直线 BC ，因为 AB⊥ 平面 α ， AC⊥ 平面 α ， BC⊂α ，所以 AB⊥BC ， AC⊥BC. 图②在平面 β 内经过点 A 有两条直线都和 BC 垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．综上，经过一点 A 只能有平面 α 的一条垂线．2. 求证：过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行．证明： 点 P 在直线外，∴ 点 P 和直线 a...