-1-第一讲 四 直角三角形的射影定理选修 4-1授课教师：合肥七中 顾雪一．射影 (1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的 ， 叫做这个点在这条直线上的正射影． (2)线段在直线上的正射影：线段的 在这条直线上 的 间的线段． (3)射影：点和线段的 简称为射影． 垂足 两个端点 正射影 正射影 以上给出了一些图形的变式，不要把正射影理解为只是由一点向水平线引垂线的特殊情形． a．如下图所示，AA′⊥MN，垂足 A′是点 A 在直线 MN 上的正射影．如果点 A 是 MN 上的点，那么 A 在MN 上的正射影就是它本身． b．如图所示，线段 AB 的两个端点 A 和 B 在直线MN 上的正射影分别是 A′和 B′，线段 A′B′是线段 AB 在直线 MN 上的正射影．特别地，如果线段 AB 垂直于直线MN，那么 AB 在 MN 上的射影是一个点． 温馨提示 对点和线段的射影的理解．点的射影由点到直线的垂线段的垂足确定；线段的射影由线段的两个端点的射影确定；线段的射影简记为：平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点． 探究： 如图， △ ABC 是直角三角形， CD 为斜边 AB 上的高，在这个图形中，由于线段 AD与 CD 、 BD 与 CD 、 BC 与 AC 等互相垂直，因此可以从射影的角度来考察它们的关系，你能发现这些线段之间的某些关系吗 ?二．射影定理 (1)文字语言： 直角三角形斜边上的高是 在斜边上射影的比例中 项；两直角边分别是它们在 上射影与 的比例中项． (2)图形语言： 如图，在 Rt△ABC 中，CD 为斜边 AB 上的高， 则有 CD2＝ ， AC2＝ ， BC2＝ . 两直角边 斜边 斜边 AD·BD AD·AB BD·AB 用射影定理证明勾股定理剖析 : 如图 , 在 Rt△ABC 中 ,AC⊥CB,CD⊥AB 于点 D, 则由射影定理可得 AC2=AD·AB,BC2=BD·BA,则 AC2+BC2=AD·AB+BD·BA=(AD+BD)·AB=AB2, 即AC2+BC2=AB2.由此可见 , 利用射影定理可以证明勾股定理 . 过去我们是用面积割补的方法证明勾股定理的 , 现在我们又用射影定理证明了勾股定理 , 而且这种方法简洁明快 , 比用面积割补的方法要方便得多 .[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在△ABC 中，AC⊥BC，CD⊥AB，则 CD2＝AD·DB. (2)在△ABC 中，AC⊥BC，CD⊥AB，则 AC2＝AD·DB. (3)在△ABC 中，AC⊥BC，CD⊥AB，则 BC2＝BD·AD. 三 . 习题巩固答案：(1)√ (2)× (3)× [例...
