高等数学教案§6 定积分的应用重庆三峡学院高等数学课程建设组第六章定积分的应用教学目的1、理解元素法的基本思想；2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。教学重点：1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。教学难点：1、 截面面积为已知的立体体积。2、引力。§6 1 定积分的元素法回忆曲边梯形的面积设 y f (x) 0 (x[a b])如果说积分badxxfA)(是以 [a b]为底的曲边梯形的面积则积分上限函数xadttfxA)()(就是以 [a x]为底的曲边梯形的面积而微分 dA(x) f (x)dx 表示点 x 处以 dx 为宽的小曲边梯形面积的近似值A f (x)dx f (x)dx 称为曲边梯形的面积元素以[a b]为底的曲边梯形的面积A 就是以面积元素f(x)dx 为被积表达式以[ a b]为积分区间的定积分badxxfA)(一般情况下为求某一量U先将此量分布在某一区间[a b]上分布在 [ a x] 上的量用函数 U(x)表示再求这一量的元素dU(x)设 dU(x) u(x)dx然后以 u(x)dx为被积表达式以[a b]为积分区间求定积分即得badxxfU)(用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法 )高等数学教案§6 定积分的应用重庆三峡学院高等数学课程建设组§6 2 定积分在几何上的应用一、平面图形的面积1．直角坐标情形设平面图形由上下两条曲线y f上(x)与 y f 下(x)及左右两条直线x a 与 x b 所围成则面积元素为 [f 上(x) f 下(x)]dx于是平面图形的面积为dxxfxfSba)]()([下上类似地由左右两条曲线x左(y)与 x右(y)及上下两条直线y d 与 y c 所围成设平面图形的面积为dcdyyyS)]()([左右例 1 计算抛物线y2 x、y x2所围成的图形的面积解 (1)画图(2)确定在 x 轴上的投影区间 : [0 1](3)确定上下曲线2)(,)(xxfxxf下上(4)计算积分31]3132[)(10323102xxdxxxS例 2 计算抛物线y2 2x 与直线 y x 4 所围成的图形的面积解 (1)画图(2)确定在 y 轴上的投影区间 : [ 2 4](3)确定左右曲线4)(,21)(2yyyy右左(4)计算积分422)214(dyyyS18]61421[4232yyy例 3 求椭圆12222byax所围成的图形的面积解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍椭圆在第一象限部分在x 轴...
