高等数学教案§12 微分方程第 1 页 共 42 页第十二章微分方程教学目的：1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。4． 会用降阶法解下列微分方程：( )( )nyf x ，( ,)yf x y和( ,)yf y y5． 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。7.求自由项为多项式、指数函数、 余弦函数， 以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。教学重点：1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法2、可降阶的高阶微分方程()( )nyf x ，( ,)yf x y和( ,)yfy y3、二阶常系数齐次线性微分方程；4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；教学难点：1、 齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；2、 线性微分方程解的性质及解的结构定理；3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。4、欧拉方程高等数学教案§12 微分方程第 2 页 共 42 页§12 1 微分方程的基本概念函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究因此如何寻找出所需要的函数关系在实践中具有重要意义在许多问题中往往不能直接找出所需要的函数关系但是根据问题所提供的情况有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式这样的关系就是所谓微分方程微分方程建立以后对它进行研究找出未知函数来这就是解微分方程例 1 一曲线通过点 (1 2)且在该曲线上任一点M(xy)处的切线的斜率为2x求这曲线的方程解 设所求曲线的方程为y y(x)根据导数的几何意义可知未知函数y y(x)应满足关系式(称为微分方程 ) xdxdy2(1) 此外未知函数 y y(x)还应满足下列条件x 1 时 y 2简记为 y|x 1 2(2) 把(1)式两端积分得(称为微分方程的通解) x d xy2即 y x2 C(3) 其中 C 是任意常数把条件“ x 1 时 y 2”代入 (3)式得2 12 C由此定出 C 1 把 C 1 代入 (3) 式得所求曲线方程 (称为微分方程满足条件y|...
