探讨函数的对称性宜城三中 官雄平 齐国辉函数既是中学数学骨干知识的交汇点,又是数学思想方法的综合点,还是初等数学与高等数学的衔接点。函数的性质是竞赛和高考的重点与热点,函数的对称性是函数的一个基本性质,其中包括函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面,下面我们就这两个方面进行探究.首先我们来看几个重要结论:① 若恒成立,则 y=f(x)的图像关于对称;②y=f(a+x)与 y=f(b-x) 的图像关于对称;③ 若函数 y=f(x)的图像同时关于点 A(a,c)和点 B(b,c)成中心对称(),则 y=f(x)是周期函数,且是 y=f(x)的一个周期;④ 若函数 y=f(x) 图像同时关于直线 x=a 和直线 x=b 成轴对称(),则 y=f(x)是周期函数,且是 y=f(x)的一个周期;⑤ 若函数 y=f(x) 图像关于点 A(a,c)成中心对称,又关于直线 x=b 成轴对称 (),则 y=f(x)是周期函数,且是 y=f(x)的一个周期.一、函数自身的对称性定理 1.函数 y=f(x)的图像关于点 A(a,b)对称的充要条件是 f(x)+f(2a-x)=2b原理: 证明函数图像的对称性,即证明图像上的任意一点关于对称中心(或轴)的对称点仍在图像上.证明:(必要性)设点 P(x,y)是 y=f(x) 图像上任一点, 点 P(x,y)关于点A(a,b)的对称点(2a-x.2b-y)也在 y=f(x) 图像上, 2b-y=f(2a-x)即 y+f(2a-x)=2b,故 f(x)+f(2a-x)=2b,必要性得证。 (充分性)设点 P()是 y=f(x) 图像上任一点,则。即故点也在 y=f(x) 图像上,而点 P 与点关于点 A(a,b)对称,充分性得证。推论:函数 y=f(x) 图像关于原点 O(0,0)对称的充要条件是 f(x)+f(-x)=0定理 2. 函数 y=f(x) 图像关于直线 x=a 对称的充要条件是 f(a+x)=f(a-x)即f(x)=f(2a-x) (证明留给读者)推论: 函数 y=f(x)图像关于 y 轴对称的充要条件是 f(x)=f(-x)定理 3.① 若函数 y=f(x)的图像同时关于点 A(a,c)和点 B(b,c)成中心对称(),则 y=f(x)是周期函数,且是 y=f(x)的一个周期. (证明留给读者)② 若函数 y=f(x) 图像同时关于直线 x=a 和直线 x=b 成轴对称(),则 y=f(x)是周期函数,且是 y=f(x)的一个周期.证明:由定理 2 知,函数 y=f(x) 图像关于直线 x=a 和直线 x=b 成轴对称(),则有和即和,用代替 x.得即, 是函数 y=f(x)的一个周期. ③ 若函数 y=f(x) 图像关于点 A(a,c)成中心对称,又关于直线 x=b成轴对称 (),则 y=f(x)是周期函数,且是 y=f(x)的一个周期.证明: y=f(x) 图像关于...