3.4 基本不等式：3 ． 4.1 基本不等式 ( 一 )不等式ab≤a＋b2 1 ．通过实例探究抽象基本不等式，体会数学来源于生活．2 ．推导并掌握基本不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程．3 ．理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≤”取等号的条件是：当且仅当这两个正数相等．4 ．熟练掌握基本不等式 (a ， b∈R ＋ ) ，会用基本不等式证明不等式．ab≤a＋b2 ab≤a＋b2 基础梳理1 ．两个正数的算术平均数与几何平均数．设 a ， b 是任意两个正数，称 为 a ， b 的 __________ ；称 为 a ， b 的 __________ ．1 和 9 的算术平均数是： ____ ，而 1 和 9 的几何平均数是： ____.2 ．重要不等式：设 a ， b∈R ， a2 ＋ b2 － 2ab ＝ (a－ b)2≥0 ，∴________________. 当且仅当 ________ 时，等号成立．a＋b2 ab 答案： 1 ．算术平均数 几何平均数练习 1 ： 5 32 ． a2 ＋ b2≥2ab a ＝ b3 ．基本不等式：设 a ， b 是任意两个正数，那么 .当且仅当 ______ 时，等号成立．基本不等式可叙述为：两个正数的 ____________________ ．如果把 看作是正数 a ， b 的等差中项， 看作是正数 a ， b 的等比中项，那么基本不等式也可以叙述为：两个正数的 __________________ ．4 ．基本不等式 几何意义是：________.ab≤a＋b2 a＋b2 ab ab≤a＋b2 答案： 3 ． a ＝ b 算术平均数不小于它们的几何平均数 等差中项不小于它们的等比中项4 ．“半径不小于半弦”5 ．已知 x ， y 都是正数，(1) 如果积 xy 是定值 P ，那么当 x ＝ y 时，和______ 有最小值 __________ ；(2) 如果和 x ＋ y 是定值 S ，那么当 x ＝ y 时，积______ 有最大值 ______________ ．(2)当 x＋y＝S(定值)时， xy≤S2∴xy≤14S2， 当且仅当 x＝y 时，上式取“＝”， ∴当 x＝y 时，(xy)max＝14S2. 答案：(1)x＋y 2 P (2)xy 14S2 证明： x，y∈R＋，∴x＋y2 ≥ xy. (1)当 xy＝P(定值)时，x＋y2 ≥ P， ∴x＋y≥2 P，当且仅当 x＝y 时，上式取“＝”， ∴当 x＝y 时，(x＋y)min＝2 P. 解析：(1)因为 x，y 都是正数，且 xy＝15， 由基本不等式得 x＋y≥2 xy＝2 15， 当且仅当 x＝y＝ 15时，取等号． (2)因为 x，y 都是正数，且 x＋y＝15， 由基本不等式得 xy≤...
