勾股定理的三种不同证明方法 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940 年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了 367 种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有 500 余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。 在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。 首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别来源于中国和希腊。1．中国方法 画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中 a、b 为直角边，c 为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。 左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以 a、b 为边。右图剩下以 c 为边的正方形。于是 a2+b2=c2。 这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。2．希腊方法 直接在直角三角形三边上画正方形，如图。容易看出，△ABA’ ≌△AA’’ C 。 过 C 向 A’’B’’ 引 垂 线 ， 交 AB 于 C’ ， 交A’’B’’于 C’’。△ABA’与正方形 ACDA’同底等高,前者面积为后者面积的一半，△AA’’C 与矩形 AA’’C’’C’同底等高，前者的面积也是后者的一半。由△ABA’≌△AA’’C，知正方形 ACDA’的面积等于矩形AA’’C’’C’的面积。同理可得正方形 BB’EC 的面积等于矩形B’’BC’C’’的面积。 于 是 ， S 正 方 形 AA’’B’’B=S 正 方 形 ACDA’+S 正 方 形BB’EC，即 a2+b2=c2。 至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，则可用割补法得到（请读者自己证明）。这里只用到简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。 这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法。 以上两个证明方法之所以精彩，是它们所用到的定理少，都只用到面积的两个基本观念：⑴ 全等形的面积相等；⑵ 一个图形分割成几部分，各部分面积之和等于原图形的面积。这是完全可以接受的朴素观念，任何人都能...
