专题五5.3 立体几何中的向量方法高频考点•探究突破核心归纳•预测演练5.3 立体几何中的向量方法专题五5.3 立体几何中的向量方法高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-2-突破点一突破点二突破点三用空间向量证明空间中的平行与垂直【例 1 】已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中 ,AC⊥BC,D 为 AB 的中点 ,AC=BC=BB1.(1) 求证 :BC1⊥AB1;(2) 求证 :BC1∥ 平面 CA1D.分析推理首先根据直三棱柱的结构特征建立空间直角坐标系 ,求出相关点的坐标 .(1) 问可直接验证两条直线的方向向量垂直来证明 .(2) 问的求解可从两个角度 : 一是证明直线 BC1 的方向向量与平面 CA1D 的基向量共面 ; 二是证明直线 BC1 的方向向量与平面 CA1D 的法向量垂直 .专题五5.3 立体几何中的向量方法高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-3-突破点一突破点二突破点三证明 : 如图 , 以 C1 为原点 ,C1A1,C1B1,C1C 所在直线分别为 x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 . 由 AC=BC=BB1, 设 AC=2,则 A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),C1(0,0,0),D(1,1,2). (1)因为𝐵𝐶1ሬሬሬሬሬሬሬԦ=(0,-2,-2),𝐴𝐵1ሬሬሬሬሬሬሬԦ=(-2,2,-2), 所以𝐵𝐶1ሬሬሬሬሬሬሬԦ· 𝐴𝐵1ሬሬሬሬሬሬሬԦ=0-4+4=0, 因此𝐵𝐶1ሬሬሬሬሬሬሬԦ⊥ 𝐴𝐵1ሬሬሬሬሬሬሬԦ,故 BC1⊥AB1. 专题五5.3 立体几何中的向量方法高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-4-突破点一突破点二突破点三(2)证法一:由于𝐶𝐴1ሬሬሬሬሬሬሬԦ=(2,0,-2),𝐶𝐷ሬሬሬሬሬԦ=(1,1,0), 若设𝐵𝐶1ሬሬሬሬሬሬሬԦ=x𝐶𝐴1ሬሬሬሬሬሬሬԦ+y𝐶𝐷ሬሬሬሬሬԦ,则得ቐ2𝑥 + 𝑦 = 0,𝑦 = -2,-2𝑥 = -2, 解得൜𝑥 = 1,𝑦 = -2, 即𝐵𝐶1ሬሬሬሬሬሬሬԦ= 𝐶𝐴1ሬሬሬሬሬሬሬԦ-2𝐶𝐷ሬሬሬሬሬԦ, 所以𝐵𝐶1ሬሬሬሬሬሬሬԦ,𝐶𝐴1ሬሬሬሬሬሬሬԦ,𝐶𝐷ሬሬሬሬሬԦ是共面向量, 又 BC1⊄ 平面 CA1D, 因此 BC1∥ 平面CA1D. 专题五5.3 立体几何中的向量方法高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-5-突破点一突破点二突破点三证法二 : 设平面 CA1D 的法向量为n=(x,y,z), 则ቊ𝑛·𝐶𝐴1ሬሬሬሬሬሬሬԦ= 0,𝑛·𝐶𝐷ሬሬሬሬሬԦ= 0,即 ൜(𝑥,𝑦,𝑧)·(2,0,-2) = 0,(𝑥,𝑦,𝑧)·(1,1,0) = 0, ∴ ൜2𝑥-2𝑧 = 0,𝑥 + 𝑦 = 0. 不妨令...
