第 15 课时 等腰三角形考点一考点二考点三考点四考点一 等腰三角形 1.等腰三角形的有关概念及分类 有两边相等的三角形叫做等腰三角形,三边相等的三角形叫做等边三角形,也叫正三角形;等腰三角形分为腰和底不相等的等腰三角形与腰和底相等的等腰三角形. 2.等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”);(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称为“三线合一”);(3)等腰三角形是轴对称图形. 3.等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边”). 考点一考点二考点三考点四考点二 等边三角形的性质与判定 1.等边三角形的性质 (1)等边三角形的三个内角相等,且都等于 60°;(2)等边三角形的三条边都相等. 2.等边三角形的判定 (1)三条边相等的三角形是等边三角形;(2)三个角相等的三角形是等边三角形;(3)有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. 考点一考点二考点三考点四考点三 线段的垂直平分线 1.概念:经过线段中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫做中垂线; 2.性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 3.判定:到一条线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上,线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合. 考点一考点二考点三考点四考点四 角平分线的性质及判定 1.性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等; 2.判定:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上,角的平分线可以看作是到角两边距离相等的点的集合. 一二 三四一、等腰三角形的性质与判定 【例 1】 如图所示,在直角梯形 ABCD 中,∠ABC=90°,AD∥BC,AB=BC,E 是 AB 的中点,CE⊥BD. (1)求证:BE=AD; (2)求证:AC 是线段 ED 的垂直平分线; (3)△DBC 是等腰三角形吗?并说明理由. 分析:(1)通过证明△ADB≌△BEC,得到 AD=BE.(2)通过证 AC 是等腰△DAE 的角平分线,利用“三线合一”得到 AC 垂直平分 DE.(3)通过证明BD=DC,得出△DBC 是等腰三角形. 一二 三四(1)证明: AD∥BC,∠ABC=90°, ∴∠DAB=∠ABC=90°. ∴∠ADB+∠ABD=90°. CE⊥BD,∴∠BEC+∠ABD=90°. ∴∠ADB=∠BEC. AB=BC,∴△ADB≌△BEC(AAS). ∴AD=BE. (2)证明: 点 E 是 AB 的中点, ∴AE=BE. BE=AD,∴AE=AD. AB=BC, ∴∠BAC=∠BCA. AD∥BC, ∴∠DAC=∠BCA. ∴∠BAC=∠DAC. 一...
