第 16 课时 直角三角形考点一考点二考点一 直角三角形的性质 1.直角三角形的两锐角互余. 2.直角三角形中,30°角所对的边等于斜边的一半. 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 4.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 考点一考点二考点二 直角三角形的判定 1.有一个角等于 90°的三角形是直角三角形. 2.有两角互余的三角形是直角三角形. 3.如果三角形一边上的中线等于这边的一半,则该三角形是直角三角形. 4.勾股定理的逆定理:如果三角形一条边的平方等于另外两条边的平方和,那么这个三角形是直角三角形. 一二 三四一、勾股定理 【例 1】 如图,有一块直角三角形纸片,两直角边 AC=6 cm,BC=8 cm,现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠,使它落在斜边 AB 上,且与 AE 重合,求 CD的长. 解:设 CD 长 x cm,由折叠得△ACD≌△AED. ∴AE=AC=6 cm,∠AED=∠C=90°,DE=CD=x cm. 在 Rt△ABC 中,AC=6 cm,BC=8 cm, ∴AB=ξ𝐴𝐶2 + B𝐶2 = ξ62 + 82=10(cm). ∴EB=AB-AE=10-6=4(cm),BD=BC-CD=(8-x)cm. 一二 三四在 Rt△DEB 中,由勾股定理得 DE2+BE2=DB2. ∴x2+42=(8-x)2,解得 x=3. ∴CD 的长为 3 cm. 一二 三四二、勾股定理的逆定理 【例 2】 如图,在四边形 ABCD 中,∠A=90°,AB=3,AD=4,CD=13,CB=12,求四边形 ABCD 的面积. 解:在 Rt△ABD 中,BD=ξ𝐴𝐷2 + A𝐵2 = ξ42 + 32=5. 在△BCD 中,CD=13,CB=12,BD=5, ∴CB2+BD2=CD2.∴∠DBC=90°. ∴S 四边形ABCD=S△ABD+S△DBC=12AB·AD+12BC·BD=12×3×4+12×12×5=6+30=36. 一二 三四 一二 三四三、勾股定理的实际应用 【例 3】 如图所示,铁路上 A,B 两站(视为直线上两点)相距 14 km,C,D为两村庄(可看为两个点),DA⊥AB 于点 A,CB⊥AB 于点 B,已知 DA=8 km,CB=6 km,现要在铁路上建一个土特产品收购站 E,使 C,D 两村到 E 站的距离相等,则 E 站应建在距 A 站多少千米处? 分析:因为 DA⊥AB 于点 A,CB⊥AB 于点 B,在 AB 上找一点可构成两个直角三角形,我们可想到通过勾股定理列方程进行求解. 一二 三四解:设 E 站应建在距 A 站 x km 处. 根据勾股定理有 82+x2=62+(14-x)2,解之,得 x=6. 所以 E 站应建在距 A 站 6 km 处. 一二 三四四、直角三角形性质的综合应用 【例 4】 已知,在△ABC 中,AB=AC,过 A 点的直线 α 与边 AC 重合的位置开始绕点 A 按顺...
