第六章 圆第 19 课时 圆的有关性质考点一考点二考点三考点四考点一 圆的有关概念及其对称性 1.圆的定义 (1)圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形,这个定点叫做圆心,定长叫做半径; (2)平面内一条线段绕着一个固定端点旋转一周,另一个端点所形成的图形叫做圆,固定的端点叫做圆心,这条线段叫做半径. 2.圆的对称性 (1)圆的轴对称性:圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴; (2)圆的中心对称性:圆是以圆心为对称中心的中心对称图形; (3)圆是旋转对称图形:圆绕圆心旋转任意角度,都能和原来的图形重合.这就是圆的旋转不变性. 考点一考点二考点三考点四考点二 垂径定理及推论 1.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 2.推论 1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧. 3.推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等. (1)过圆心;(2)平分弦(不是直径);(3)垂直于弦;(4)平分弦所对的优弧;(5)平分弦所对的劣弧.若一条直线具备这五项中任意两项,则必具备另外三项. 考点一考点二考点三考点四考点三 圆心角、弧、弦之间的关系 1.定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等. 2.推论 同圆或等圆中:(1)两个圆心角相等;(2)两条弧相等;(3)两条弦相等.三项中有一项成立,则其余对应的两项也成立. 考点一考点二考点三考点四考点四 圆心角与圆周角 1.定义 顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆上,角的两边和圆都相交的角叫做圆周角. 2.性质 (1)圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角的度数的一半. (3)同弧或等弧所对的圆周角相等,同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等. (4)半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径. 一二 三一、垂径定理及推论 【例 1】 如图,☉O 的直径 AB 垂直于弦 CD,垂足 P 是 OB 的中点,CD=6 cm,求直径 AB 的长. 解:如图,连接 OC,BC, 一二 三则根据 AB⊥CD,且垂足 P 是 OB 的中点,得 OC=BC. OC=OB, ∴OC=OB=BC. ∴△BOC 为等边三角形. ∴∠BOC=60°. 由垂径定理得 CP=12CD=12×6=3(cm). 在 Rt△POC 中,tan∠COP=𝐶𝑃𝑂𝑃 = ξ3, ∴OP=ξ3 cm. ∴AB=2OB=4OP=4ξ3 cm. 一二 三二、圆心(周)角...
