实数绝对值中的数学思想专题放送安徽 李庆社 绝对值的概念是中学数学中一个重要概念，它的应用十分广泛．因此我们在学习时，不仅应该深入理解概念，灵活运用，还应注意在应用过程中学会思想方法． 1．整体代换的思想 典例 1 若|x-2|＝2-x，求 x 的取值范围． 【研析】∵|x-2|≥0，∴2-x≥0，即 x≥2. 【方法探究】根据已知条件等式的结构特征，我们把 x-2 看作一个整体，那么原式变形为|x-2|＝-(x-2)，又由绝对值概念知 x-2≤0，故 x 的取值范围是 x≤2． 2．数形结合的思想 典例 2 已知 a＜0＜c，ab＞0，|b|＞|c|＞|a|，化简|a+c|+|b+c|-|a-b|． 【研析】分析这个题目的关键是确定 a+c、b+c、a-b 的符号，根据已知可在数轴上标出a 、b 、c 的大致位置，如图所示： 很容易确定 a+c＞0，b+c＜0，a-b＞0，由绝对值的概念，原式＝(a+c)-(b+c)-(a-b)＝a+c-b-c-a+b＝0． 【观察思考】用数轴上的点来表示实数，用这样的点与原点的距离来表示实数的绝对值，这里运用了数形结合的思想． 3．分类的思想 典例 3 五个有理数 a、b、c、d、e 满足|abcde|＝-abcde， 【研析】由题设条件知，abcde＜0，而 a、b、c、d、e 满足 abcde＜0 仅有三种情况：①二正三负；②四正一负；③五负．又因为对于任意非零有理数 a，有1 【方法探究】本题求五个分数的值的最大值，对于每一个分数而言，其值不是＋1，就是－1；注意到五个数的积小于零，应按负数分奇数种情况讨论，不可遗漏，从而整体确定五个分数的值的正负性，并确定出整体的最大值. 4．特殊化的思想 典例 4 已知 a、b 是实数，且 a·b＜0，试比较|a+b|，|a-b|，|a|+|b| ，||a|-|b||的大小． 【研析】根据已知 a·b＜0，不妨取 a＝1，b＝-1，这样有|a+b|＝0，|a-b|＝2，|a|+|b|＝2，||a|-|b||＝0， ∴|a+b|＝||a|-|b||＜|a-b| ＝|a|+|b|． 【领悟整合】有些数学题目，直接解原题时感到难以入手，可以先考察它的某些简单特例，而后达到解决原题的目的，这种思考问题的过程，称为“特殊化”方法．2
