实数绝对值中的数学思想专题放送安徽 李庆社 绝对值的概念是中学数学中一个重要概念,它的应用十分广泛.因此我们在学习时,不仅应该深入理解概念,灵活运用,还应注意在应用过程中学会思想方法. 1.整体代换的思想 典例 1 若|x-2|=2-x,求 x 的取值范围. 【研析】∵|x-2|≥0,∴2-x≥0,即 x≥2. 【方法探究】根据已知条件等式的结构特征,我们把 x-2 看作一个整体,那么原式变形为|x-2|=-(x-2),又由绝对值概念知 x-2≤0,故 x 的取值范围是 x≤2. 2.数形结合的思想 典例 2 已知 a<0<c,ab>0,|b|>|c|>|a|,化简|a+c|+|b+c|-|a-b|. 【研析】分析这个题目的关键是确定 a+c、b+c、a-b 的符号,根据已知可在数轴上标出a 、b 、c 的大致位置,如图所示: 很容易确定 a+c>0,b+c<0,a-b>0,由绝对值的概念,原式=(a+c)-(b+c)-(a-b)=a+c-b-c-a+b=0. 【观察思考】用数轴上的点来表示实数,用这样的点与原点的距离来表示实数的绝对值,这里运用了数形结合的思想. 3.分类的思想 典例 3 五个有理数 a、b、c、d、e 满足|abcde|=-abcde, 【研析】由题设条件知,abcde<0,而 a、b、c、d、e 满足 abcde<0 仅有三种情况:①二正三负;②四正一负;③五负.又因为对于任意非零有理数 a,有1 【方法探究】本题求五个分数的值的最大值,对于每一个分数而言,其值不是+1,就是-1;注意到五个数的积小于零,应按负数分奇数种情况讨论,不可遗漏,从而整体确定五个分数的值的正负性,并确定出整体的最大值. 4.特殊化的思想 典例 4 已知 a、b 是实数,且 a·b<0,试比较|a+b|,|a-b|,|a|+|b| ,||a|-|b||的大小. 【研析】根据已知 a·b<0,不妨取 a=1,b=-1,这样有|a+b|=0,|a-b|=2,|a|+|b|=2,||a|-|b||=0, ∴|a+b|=||a|-|b||<|a-b| =|a|+|b|. 【领悟整合】有些数学题目,直接解原题时感到难以入手,可以先考察它的某些简单特例,而后达到解决原题的目的,这种思考问题的过程,称为“特殊化”方法.2