巧构全等妙证题安徽 李庆社 全等三角形是初中几何的重点，是研究图形性质的基础，在几何证题中有着广泛的应用．下面举例说明其具体应用． 一、证线段相等 例 1 如图 1，正方形 ABCD 的边 BC，CD 上取 E，F 两点，使，于 G． 求证：． 证明：将以 A 点为原点逆时针旋转 90°，得到．可证． 由此可知． 二、证角相等 例 2 如图 2，在中，，P 是三角形内任意一点，． 求证：． 证明：作，取，连接，可证， 从而可证， 于是． 例 1、例 2 是用旋转变换构造出全等三角形，使已知条件与未知条件建立联系，证明途径易于发现．对具有等边特征的图形，一般可考虑用旋转法迁移线段或角的位置． 三、证线段不等 例 3 如图 3，设 P 为三角形 ABC 内一点，且． 求证：． 证明：作的平分线交 AB 于 D，连结 DP，可证，于是．在中，有，即 ， ∴． 四、证角不等 例 4 如图 4，已知中，，AD 是 BC 边上的中线． 求证：∠1＜∠2． 证明：延长 AD 至 E，使，可证，于是 ． 在中， ∵， ∴， ∴∠1＜∠E， 即∠1＜∠2， 本题是用旋转法将△ACD 转到△EBD 的位置，使要比较大小的∠1、∠2（即∠E）处在同一个三角形中． 五、证线段的和差倍分 例 5 如图 5，已知点 E，F 分别在正方形 ABCD 的边 BC，CD 上，并且． 求证：．1BFE图 1CDAGHAPC图 2BPAPC图 3BDAEC图 4BD1243ABF图 5GEDC 证明：作，AG 与 CB 的延长线交于点 G．可证 ，进而可证，又， ∴， ∴， 故． 本例用补短法把线段的和差转化为证线段相等，也可以用截长法把线段的和差转化为证线段相等． 例 6 如图 6，中，，E 为 AB 的中点，在 AB 延长线上取一点 D，使． 求证：． 证明：取 CD 的中点 F，连结 BF，可证出． ∴． ， ，故． 本例用折半法证明线段的倍分问题，也可以用加倍法证明线段的倍分问题． 六、证角的和差倍分 例 7 如图 7，已知 E 是正方形 ABCD 的边 CD 的中点，F 是 CE 的中点．求证：． 证明：取 BC 的中点 G，连接 AG 并延长交 DC 的延长线于 H 点．设正方形的边长为 a，则可证．∴，∴．在中，由勾股定理，∴． ∴∠3=∠H， ∴∠1=∠3，在和中， ∵， ∴， ∴∠1=∠2， ∴． 七、证两直线垂直 例 8 如图 8，已知梯形 ABCD 中，，M 为腰 AD 上的一点，若，MC 平分． 求证：． 证明：延长 BA 至 E，使，连接 CE 交 DA 于．可证． ∴． ∵， ∴． 即， 在等腰三角形 BCE 中，， ∴． 又由于． ∴． 即是的平分线．因此与 M 重合．故． 八、证两直线平行2ACDBE12图 6ABEHDC图 7FG12345ABCDEMM 图 8F 例 9 已知如图 9，， 求证：． 证明：连结 BD．在和中， ∵， ， ∴， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∴．3BCDA4123图 9
