解函数的单词性时需注意的几个概念刘长柏 函数的单调性是函数的一个很重要的性质，也是历年高考命题的重点。但是不少同学由于对概念认识不足，审题不清，在解答这类题时容易出现错解。下面对做这类题时需注意的事项加以说明，以引起同学们的重视。一、应用定义证明，要注意步骤的严密性 例 1. 证明函数在 R 上是减函数。 解：任取，且，则 ∵ ∴ ∴函数在 R 上是减函数。 提 示 ： 有 的 同 学 证 明 时 ， 没 有 说 明， 就 直 接 说，这个过程不能省。二、对函数单调性的概念理解不正确 例 2. 若，且 tanα＜cotβ，则有（ ） A. B. C. D. 错解：因为，所以，故选 B。 剖析：∵ ∴。显然，不在同一单调区间，故此时不能使用函数的单调性。 正确解法：∵ ∴，由题意知，，又在上单调递增，故选 C。三、研究函数的单调性千万不要忘记函数的定义域 例 3. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. (3，＋)C. (－，1]D. （－，－1） 错解：∵令时，t 为增函数，而 y＝lgt 在上是增函数， ∴函数的单调增区间是[1，＋）。故选 A。 剖析：此题除注意两个函数的单调性外，函数的定义域也不要忘记。 正确解法：此函数的定义域为（－，－1）。 令 ∵y ＝ lgt在上 是 增 函 数 ，， 而的单调增区间为（3，＋）， ∴选 B。 例 4. 已知函数，如果，则实数 a 的取值范围是__________。 错解：由题意知 f(x)是奇函数且在（－1，1）上单调递增，又由，得，因此，，即或。 剖析：忽略了复合函数的定义域，从而导致解题错误。 正确解法：由题意知 f(x)是奇函数且在（－1，1）上单调递增，又由，得 则，解得。四、混淆“函数的单调区间”与“函数在某一区间单调” 例 5. 函数时单调递减，求 a 的取值范围。 错解：∵函数时单调递减， ∴－a＝1，即 a＝－1。 剖析：错把函数在时单调递减理解为函数单调递减区间是（－，1]。事实上，当－a≥1 时，函数在（1，－a]上也递减。“函数在某一区间单调”与“函数的单调区间”不要混淆。 正确解法：函数的对称轴为 x＝－a，因为函数在时单调递减，故－a≥1，即a≤－1。
