2010 年· 暑假
重叠问题教师版page 1 of 131
了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2
掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．知识点说明一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：ABABABUI( 其中符号“U ”读作“并” ，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“I ”读作“交”，相当于中文“且”的意思．) 则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下: A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：ABI，即阴影面积．图示如下: A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：ABI，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合AB、的并集 ABU的元素的个数，可分以下两步进行：第一步： 分别计算集合AB、的元素个数， 然后加起来， 即先求 AB ( 意思是把 AB、的一切元素都 “包含”进来，加在一起) ；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去CABI( 意思是“排除”了重复计算的元素个数) ．二、三量重叠问题A 类、B 类与 C 类元素个数的总和A 类元素的个数B 类元素个数C 类元素个数既是 A 类又是 B类的元素个数既是 B 类又是 C 类的元素个数既是 A 类又是 C 类的元素个数同时是 A 类、 B 类、 C 类的元素个数．用符号表示为：ABCABCABBCACABCUUIIIII．图示如下：知识精讲教学目标7-7 容斥原理1．先包含——AB重叠部分 ABI计算了 2 次，多加了 1次；2．再排除——ABABI把多加了 1次的重叠部分ABI减去．2010 年·
