在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下,供参考。 基本知识 1.定义:因变量 y 的取值范围叫做函数的值域(或函数值的集合)。 2.函数值域常见的求解思路: ⑴ 划归为几类常见函数,利用这些函数的图象和性质求解。 ⑵ 反解函数,将自变量 x 用函数 y 的代数式形式表示出来,利用定义域建立函数 y 的不等式,解不等式即可获解。 ⑶ 可以从方程的角度理解函数的值域,从方程的角度讲,函数的值域即为使关于 x 的方程 y=f(x)在定义域内有解的 y 得取值范围。 特别地,若函数可看成关于 x 的一元二次方程,则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件,利用判别式求出函数的值域。 ⑷ 可以用函数的单调性求值域。 ⑸ 其他。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数,通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域 例1. 求函数的值域。 解: ∴ 显然函数的值域是: 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例2. 求函数的值域。 解:将函数配方得: 由二次函数的性质可知:当 x=1 时,,当 x=-1 时, 故函数的值域是:[4,8] 3. 判别式法 例3. 求函数的值域。 解:两边平方整理得:(1) ∴ 解得: 但此时的函数的定义域由,得 由,仅保证关于 x 的方程:在实数集 R 有实根,而不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程(1)有实根,由 求出的范围可能比 y 的实际范围大,故不能确定此函数的值域为。 可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∴ ∴代入方程(1) 解得: 即当时, 原函数的值域为: 注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除。 4. 反函数法 直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例4. 求函数 值域。 解:由原函数式可得: 则其反函数为:,其定义域为: 故所求函数的值域为: 5. 函数有...