文科高等数学(2.微积分的直接基础极限)VIP免费

第二章 极限 1 第二章 微积分的直接基础——极限 §2.1 从阿基里斯追赶乌龟谈起——数列的极限 一个实际问题 如可用渐近的方程法求圆的面积？ 设有一圆 首先作内接正四边形 它的面积记为A1；再作内接正八边形 它的面积记为A2；再作内接正十六边形 它的面积记为A3；如此下去 每次边数加倍 一般把内接正8×2n1 边形的面积记为An  这样就得到一系列内接正多边形的面积 A1 A2 A3        An    设想 n 无限增大（记为n 读作n 趋于穷大） 即内接正多边形的边数无限增加 在这个过程中 内接正多边形无限接近于圆 同时 An 也无限接近于某一确定的数值 这个确定的数值就理解为圆的面积 这个确定的数值在数学上称为上面有次序的数（数列） A1 A2 A3     An   当 n 时的极限 数列的概念如果按照某一法则 使得对任何一个正整数n 有一个确定的数xn  则得到一列有次序的数 x1 x2 x3     xn     这一列有次序的数就叫做数列 记为{xn} 其中第n 项 xn 叫做数列的一般项 数列的例子 {1nn} 21  32  43      1nn {2n 2 4 8     2n     {n21 } 21  41  81      n21      {(1)n1 1 1 1     (1)n1     {nnn 1)1(} 2 21  34      nnn 1)1(     它们的一般项依次为1nn  2n n21  (1)n1 nnn 1)1( 数列的几何意义数列{xn}可以看作数轴上的一个动点 它依次取数轴上的点 x1 x2 x3     xn     数列与函数数列{xn}可以看作自变量为正整数n 的函数 xnf (n) 它的定义域是全体正整数 数列的极限 数列的极限的通俗定义对于数列{xn} 如果当 n 无限增大时 数列的一般项 xn 无限地接近于某一确定的数值 a 则称常数a 是数列{xn}的极限 或称数列{xn}收敛 a  记为axnnlim 如果数列没有极限 就说数列是发散的 例如 11l i mnnn021limnn 1)1(lim1 ...