平面向量基本定理与三角形四心已知 O 是ABC 内的一点，AOBAOCBOC,,的面积分别为AS ，BS ，CS，求证：0???OCSOBSOASCBA如图 2 延长 OA 与 BC 边相交于点 D 则BCCODACDBODABDCODBODACDBDSSDCBDSSSSSSSS A图 1 ODBCDC OBBCBD OCCBBSSSOBCBCSSSOCCBACOABOACODBODCOACODBOABODSSSSSSSSSSSOAOD图 2 CBASSSODOACBASSSOACBBSSSOBCBCSSSOC0???OCSOBSOASCBA推论 O 是ABC 内的一点，且0???OCOBOAzyx，则zyxSSSAOBCOABOC::::OABCDOABC有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC的重心1:1:1::AOBCOABOCSSS0OCOBOAO 是ABC的内心cbaSSSAOBCOABOC::::0???OCOBOAcbaO 是ABC的外心CBASSSAOBCOABOC2sin:2sin:2sin::02sin2sin2sin???OCCOBBOAAO 是ABC的垂心CBASSSAOBCOABOCtan:tan:tan::0tantantan???OCCOBBOAAOCABD证明：如图 O为三角形的垂心，DBCDBADCDAtan,tanADDBBA:tan:tanCOABOCSS:ADDB :BASSCOABOCtan:tan:同理得CBSSAOBCOAtan:tan:，CASSAOBBOCtan:tan:CBASSSAOBCOABOCtan:tan:tan::奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一4.2 三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1；(2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等；(4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。与“重心”有关的向量问题1 已知 G 是ABC△所在平面上的一点，若0GAGBGCuuuruuuruuur，则 G 是ABC△的 ( )．A．重点B．外心C．内心D．垂心如图⑴ .A'GCAB2已 知 O 是 平 面 上 一 定 点 ， ABC， ，是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点 P 满 足()OPOAABACuuuruuuruuuruuur，(0)，，则 P 的轨迹一定通过ABC△的( ).A．重点B．外心C．内心D．垂心【解析】由题意()APABACuuuruuuruuur，当(0)，时，由于()ABACuuuruuur表示 BC 边上的中线所在直线的向量，所以动点P 的轨迹一定通过ABC△的重心，如图⑵.3 .O 是△ABC所在平面内一点，动点 P满足（λ∈（ 0，+∞）），则动点 P 的轨迹一定通过△ ABC的（）A．内心B．重心C．外心D．垂心图⑴图⑵M PCBAO解：作出如图的图形AD⊥BC，由于sinB=sinC=AD，∴=由加法法则知， P 在三角形的中线上故动点 P 的轨迹一定通过△ ABC的重心故选： B．与“垂心”有关的向量问题3 P 是ABC△...
