中考数学压轴题因动点产生的相似三角形问题VIP免费

因动点产生的相似三角形问题 例1（ 2011 年上海市闸北区中考模拟第25 题）直线113yx 分别交x 轴、y 轴于A、 B 两点，△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°后得到△COD，抛物线y＝ ax2＋ bx＋ c 经过A、 C、 D 三点． (1) 写出点A、 B、 C、 D 的坐标； (2) 求经过A、 C、 D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标； (3) 在直线BG 上是否存在点Q，使得以点A、 B、 Q 为顶点的三角形与△COD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 图 1 满分解答 （ 1） A(3， 0)， B(0， 1)， C(0， 3)， D(－ 1， 0)． （ 2）因为抛物线y＝ ax2＋ bx＋ c 经过A(3， 0)、 C(0， 3)、 D(－ 1， 0) 三点，所以930,3,0.abccabc 解得1,2,3.abc  所以抛物线的解析式为y＝－x2＋ 2x＋ 3＝－(x－ 1)2＋ 4，顶点G 的坐标为(1， 4)． （ 3）如图2，直线BG 的解析式为y＝ 3x＋ 1，直线CD 的解析式为y＝ 3x＋ 3，因此CD//BG． 因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB⊥ CD．因此AB⊥ BG，即∠ABQ＝ 90° ． 因为点Q 在直线BG 上，设点Q 的坐标为(x， 3x＋ 1)，那么22(3 )10BQxxx ． Rt△ COD 的两条直角边的比为1∶ 3，如果Rt△ ABQ 与 Rt△ COD 相似，存在两种情况： ①当3BQBA时，10310x．解得3x   ．所以1(3,10)Q，2 ( 3,8)Q． ②当13BQBA时，101310x．解得13x  ．所以31(, 2)3Q，41(, 0)3Q． 图 2 图 3 考点伸展 第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明AB⊥ BG；二是22(3 )10BQxxx ． 我们换个思路解答第（3）题： 如图3，作GH⊥ y 轴，QN⊥ y 轴，垂足分别为H、 N． 通过证明△AOB≌△BHG，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠ABG＝ 90° ． 在 Rt△ BGH 中，1sin110，3cos110． ①当3BQBA时，3 10BQ ． 在 Rt△ BQN 中，sin13QNBQ ，cos19BNBQ ． 当 Q 在 B 上方时，1(3,10)Q；当Q 在 B 下方时，2 ( 3,8)Q． ②当13BQBA时，1103BQ ．同理得到31(, 2)3Q，41(, 0)3Q． 例2（ 2011 年上海市杨浦区中考模拟第24 题） Rt△ ABC 在直角坐标系内的位置如图1 所示，反比例函数(0)kykx...