因动点产生的相似三角形问题 例1( 2011 年上海市闸北区中考模拟第25 题)直线113yx 分别交x 轴、y 轴于A、 B 两点,△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°后得到△COD,抛物线y= ax2+ bx+ c 经过A、 C、 D 三点. (1) 写出点A、 B、 C、 D 的坐标; (2) 求经过A、 C、 D 三点的抛物线表达式,并求抛物线顶点G 的坐标; (3) 在直线BG 上是否存在点Q,使得以点A、 B、 Q 为顶点的三角形与△COD 相似?若存在,请求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 图 1 满分解答 ( 1) A(3, 0), B(0, 1), C(0, 3), D(- 1, 0). ( 2)因为抛物线y= ax2+ bx+ c 经过A(3, 0)、 C(0, 3)、 D(- 1, 0) 三点,所以930,3,0.abccabc 解得1,2,3.abc 所以抛物线的解析式为y=-x2+ 2x+ 3=-(x- 1)2+ 4,顶点G 的坐标为(1, 4). ( 3)如图2,直线BG 的解析式为y= 3x+ 1,直线CD 的解析式为y= 3x+ 3,因此CD//BG. 因为图形在旋转过程中,对应线段的夹角等于旋转角,所以AB⊥ CD.因此AB⊥ BG,即∠ABQ= 90° . 因为点Q 在直线BG 上,设点Q 的坐标为(x, 3x+ 1),那么22(3 )10BQxxx . Rt△ COD 的两条直角边的比为1∶ 3,如果Rt△ ABQ 与 Rt△ COD 相似,存在两种情况: ①当3BQBA时,10310x.解得3x .所以1(3,10)Q,2 ( 3,8)Q. ②当13BQBA时,101310x.解得13x .所以31(, 2)3Q,41(, 0)3Q. 图 2 图 3 考点伸展 第(3)题在解答过程中运用了两个高难度动作:一是用旋转的性质说明AB⊥ BG;二是22(3 )10BQxxx . 我们换个思路解答第(3)题: 如图3,作GH⊥ y 轴,QN⊥ y 轴,垂足分别为H、 N. 通过证明△AOB≌△BHG,根据全等三角形的对应角相等,可以证明∠ABG= 90° . 在 Rt△ BGH 中,1sin110,3cos110. ①当3BQBA时,3 10BQ . 在 Rt△ BQN 中,sin13QNBQ ,cos19BNBQ . 当 Q 在 B 上方时,1(3,10)Q;当Q 在 B 下方时,2 ( 3,8)Q. ②当13BQBA时,1103BQ .同理得到31(, 2)3Q,41(, 0)3Q. 例2( 2011 年上海市杨浦区中考模拟第24 题) Rt△ ABC 在直角坐标系内的位置如图1 所示,反比例函数(0)kykx...